例谈圆模型在几何最值问题中的妙用

张淑波

最值问题一直是初中数学问题中的一大难点，这类问题出现的题型内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样.其中几何中的最值问题是重中之重，常见方法有利用轴对称性得到三点共线；利用转化思想转变成垂线段最短；利用函数思想等，本文主要探究看似无圆的几何最值问题中如何巧妙地找到圆模型，使复杂的最值问题得以圆满解决.

模型呈现：如图1，圆外一点与圆上任意一点联结所成的线段中PA最长，PB最短（其中PA、PB所在的直线经过圆心O）.有了这种方法能使很多最值问题中的较难问题得到圆满解决.

案例1：如图2，点E为正方形ABCD的边AD上的动点，过点A作AH⊥BE于点H，若正方形的边长为4，则线段DH的最小值是多少？

分析：由AH⊥BH可知，∠AHB始终为90°，因此点H在以AB为直径的⊙F上运动，此时点D为⊙F外一点，所以可利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型（图1），联结DF交⊙F于点H（如图3），此时DH最小.

思考：本题学生的解答正确率其实并不高，关键在于学生不容易发现动点H的运动路径是以AB为直径的圆.那么如何才能在看似无圆的题设中准确找到圆模型呢？本题经验告诉我们，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上，故看到直角，容易找到圆模型.

经验利用1：在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.

（1）如图4，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图5，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图6，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（4）如图7，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最小值.

分析：（1）、（2）、（3）中AE⊥DF（证明略）.（4）根据已知条件得AE⊥DF，∠APD始终为90°.因此根据案例1的经验不难发现点P在以AD为直径的圆上运动，记圆心为点O，连接OC与圆交于点P，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离这一结论，得到此时CP为最小.

经验利用2：设a为实数，已知直线l：y=ax-a-2，过点P（-1，0）作直线l的垂线，垂足为M.点O（0，0）为坐标原点，则线段OM长度的最小值？

分析：本题共有两大难点：第一难点是这条直线无法确定，但可以肯定的是必经过A（1，-2），第二难点是怎么发现圆模型.我们发现直线无论怎么变，∠PMA始终为直角，这样根据案例1的经验，以AP为直径的圆就形成，点M始终在以AP为直径的圆上，利用圆内一点与圆的最近距离和最远距离这一结论确定了OM的最小值.

经验拓展：如图9，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），点D是第一象限的一点，满足∠ADB=30°，则线段CD的最小值？

分析：本题中没有明显的圆模型，也没有同案例1一样的隐含圆模型的直角，但∠ADB恒为30°，可以看成一个30°圆周角，同样可以找到圆模型.由于圆周角∠ADB=30°，故对应的圆心角∠AMB=60°，⊙M就是以AB的长为半径，经过A，B两点的圆，同样可以利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型（图1），最终确定CD的最小值.

推广：当某个角的大小为恒值时，该角顶点必在以该角为圆周角的圆上.特殊的，当该角为直角时，则该直角顶点在以该直角所对斜边为直径的圆上.

案例2：如图11，已知抛物线y=- （x-1）（x-7）与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值？

分析：这一问题已经明确有圆了，但怎样利用圆的模型解决？很明显，所求的线段PD没有任何一个点在圆上，没法直接利用本模型.不难发现D为线段AB的中点，结合条件“P为AG中点”，我们可以联结BG，则PD构成△ABG的中位线，利用中位线的性质PD= BG可将PD最长转换为BG最长.B为圆外定点，G为圆上动点，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型可将这个问题完满解决.

经验利用：如图12，二次函数y=a2x+bx+c（a≠0）的图像交x轴于点A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C（0，2），过B，C画线直线，并联结AC.

（1）求二次函数的解析式和直线BC的解析式；

（2）点F是线段BC上的一点，过点F作△ABC的内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AC上，GF交y轴于点M.

①求该正方形的边长；

②将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗？请说明理由.

（3）在（2）的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，点P始终为CF为中点，请直接写出线段OP的最大值.

分析：（1）（2）略.第（3）问没有明显的圆模型，看似与圆无关，很多学生面对这个问题无从下手，其实将线段BF绕点B旋转，可以根据圆的定义发现一个以B为圆心，BF为半径的圆，F始终在这个圆上，圆模型出现了，但同案例2一样，点O、点P均不是圆上的动点.从条件“点P始终为CF为中点”出发，根据案例2中利用中点构造中位线实现线段转换的经验，不妨作C关于X轴的对称点C′，连接OP，C′F（如图13），发现OP是三角形CC′F的中位线，因此把OP的最小值转化成了C′F的最小值，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离这个结论，这个问题迎刃而解.

综合应用：如图14在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值？

分析：本题没有明显的圆模型，也没有像上文案例一样隐含圆模型的条件.但根据轴对称变换的性质，不妨联结AA′，交MN与点H（如图15），则MN垂直平分AA′，结合M为AD的中点，可模仿案例2联结A′D构造中位线，易证AA′⊥DA′，即∠AA′D使终为90°，根据案例1的经验可得点A′在以AD为直径的圆上运动，圆心为点M，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型，连接MC与圆交于点A′，此时CA′为最小.

在很多看似无圆的几何最值问题中，我们可以利用直角、固定的圆周角、圆的定义等找到隐藏的圆模型，利用构造法、转换思想等建立圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型解决问题.但是很显然上述案例的探究只是利用圆模型解决几何最值问题中的一小部分，更是纷繁复杂的几何最值问题的冰山一角.