基于二阶锥规划的相干信号宽零陷自适应波束形成

黄 超，张剑云，朱家兵，王 瑜

(1.解放军电子工程学院，安徽 合肥 230037；2.中国电子科技集团公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)



基于二阶锥规划的相干信号宽零陷自适应波束形成

黄 超1，张剑云1，朱家兵2，王 瑜1

(1.解放军电子工程学院，安徽 合肥 230037；2.中国电子科技集团公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

针对传统自适应波束形成器在相干干扰位置出现快速变化时，输出性能下降，甚至干扰抑制失效的问题，提出了一种基于二阶锥规划(SOCP)的相干信号宽零陷自适应波束形成算法。该算法首先对接收数据协方差矩阵进行Toeplitz重构，然后重构了干扰加噪声协方差矩阵并对其进行零陷展宽处理；接着在保证期望方向波束无失真前提下，约束主瓣宽度和旁瓣电平，使得波束形成器干扰和噪声的输出功率最小；最后将该问题转化为凸优化中的二阶锥规划问题，并使用凸优化工具箱进行快速求解。仿真实验表明，该算法可以在兼顾全部阵列性能指标的前提下，在相干干扰区域形成宽零陷。

二阶锥规划；相干干扰；协方差矩阵重构；零陷展宽；凸优化

0 引言

自适应波束形成技术被广泛应用于雷达、声呐和无线电通讯等领域[1-3]，它可以根据环境的变化自适应地调整权值在干扰方向上形成零陷，能够有效地抑制空间干扰，提高系统的输出信干噪比。然而在工程实际中，干扰源和信号接收阵列都有可能是快速移动的。在这种情况下，当自适应权值的收敛速度达不到干扰源相对于天线接收阵列的相对移动速度，就会出现加权训练数据与应用数据失配，使得干扰源方向从天线方向图的零陷位置移出，从而使得干扰抑制失败。

零陷展宽算法可以有效地抑制快速运动的干扰信号。Mailloux算法[4]是最传统的零陷展宽算法，该算法通过构造锥化矩阵对接收数据协方差矩阵进行加权来展宽干扰方向的零陷。文献[5—6]在Mailloux算法的基础上，从统计模型和旋转导向矢量方面对原算法进行了改进。这类算法在展宽零陷的同时会使零陷深度变浅，而且算法鲁棒性较差。对此，文献[7]结合投影变换技术和对角加载技术，提出了一种新的零陷展宽算法，该方法能在展宽零陷的同时加深零陷，对参数的选取具有较强的稳健性。文献[8]针对模型失配的情况，通过重构和优化干扰加噪声协方差矩阵、估计真实导向矢量，提出了一种鲁棒的自适应零陷展宽算法。

上述零陷展宽自适应波束形成算法都是采用样本协方差矩阵求逆方法(SMI)来形成波束方向图的。SMI方法简单稳定，但基于该算法的零陷展宽算法不能兼顾自适应波束形成的全部性能指标，在形成宽零陷的同时会抬高旁瓣电平并展宽主瓣波束。同时，上述零陷展宽算法只适用于期望信号和干扰相互独立的情况，当信号和干扰相干时，必须先对其做解相干处理。

本文针对上述问题，提出了基于二阶锥规划(SOCP)的相干信号宽零陷自适应波束形成算法。

1 基本理论

1.1 SOCP的基本概念

SOCP理论是凸优化理论的最新分支。SOCP方法在二阶锥空间内寻找最优解，由于其寻优速度较快，被广泛地应用到工程实际中。

所谓SOCP，就是在有限个二阶锥的笛卡尔乘积的仿射子空间的交集上极小化一个线性函数。其数学表述一般为：

minqTx

subject to:

‖Ai+bi‖2≤ciTx+di,i=1,2,…,m

(1)

式(1)中，x∈Rn为优化变量，q∈Rn, Ai∈R(ni-1)×n,bi∈R(ni-1)，ci∈Rn,di∈R，约束条件中的范数为标准的L2范数或欧几里得范数，即‖u‖2=(uTu)1/2。则标准的k维二阶锥记为：

(2)

1.2 自适应波束形成模型

图1所示为M元均匀直线阵。

图1 M元均匀直线阵Fig.1 M-elements uniform linear array

图1中，设定有一个窄带远场期望信号从θ0方向入射到该阵列，P个干扰信号从θi(i=1,2，…,P)方向入射到该阵列。信号波长为λ，阵元间距d=λ/2，则第n个阵元接收到的数据为：

n=1,2，…，M

(3)

式(3)中，s0(t)为期望信号，sk(t),k=1,2，…,P为干扰信号。τn(θi),i=0,1，…,P是期望信号和干扰信号传播到第n个阵元的时延，vn(t)是第n个阵元接收到的噪声。可将阵列接收信号矢量表示为：

X(t)=As(t)+v(t)

(4)

其中，X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T是阵列输出矢量，A是信号和干扰的阵列导向矢量，s(t)是入射信号矢量，v(t)是阵列噪声矢量，假设v(t)是均值为0、方差为σ2的高斯白噪声。

s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T

(5)

v(t)=[v1(t),v2(t),…,vM(t)]T

(6)

A=[a(θ0),a(θ1),…，a(θP)]

(7)

a(θi)=[1,exp(φ),…，exp((M-1)φ)]T

(8)

阵列接收信号的协方差矩阵为：

R=E[X(t)XH(t)]

(9)

在实际情况中，阵列接收信号的协方差矩阵是通过有限次的快拍估计出来的，假设快拍数为L，则阵列接收信号的协方差矩阵估计值为：

(10)

则基于最小方差无失真响应(MVDR)准则进行自适应波束形成，其代价函数为

(11)

2 基于SOCP的相干信号宽零陷自适应波束形成算法

2.1 算法原理

针对传统自适应波束形成算法对快速移动的相干干扰抑制失效的问题，本文提出了一种基于SOCP的相干信号宽零陷自适应波束形成算法。该算法首先进行解相干处理，对接收数据协方差矩阵进行Toeplitz重构，使其包含信号和干扰的所有方位信息，然后重构了干扰加噪声协方差矩阵并对其进行零陷展宽处理，接着在保证期望方向波束无失真前提下，约束主瓣宽度和旁瓣电平，使得波束形成器的输出功率最小，最后将该问题转化为凸优化中的二阶锥规划问题，并使用凸优化工具箱进行快速求解。

1)Toeplitz矩阵重构

(12)

2)干扰加噪声协方差矩阵重构

(13)

(14)

3)零陷展宽处理

(15)

则经过零陷展宽处理后的相干干扰和噪声的自相关矩阵为：

(16)

在式(16)中， “°”表示Hadamard乘运算。则对于快速移动的相干干扰，基于MVDR准则进行自适应波束形成的代价函数为：

(17)

2.2 相干信号宽零陷自适应波束形成优化模型

对均匀直线阵进行加权处理，令加权向量为w=[w1,w2,…，wM]，则阵列的方向图为：

F(θ)=wHa(θ)

(18)

a(θ)是均匀直线阵的阵列导向矢量。现将整个空域分为主瓣区ΘML和旁瓣区ΘSL，并进行离散化处理，令φm∈ΘML,(m=1,…,P)，φs∈ΘSL,(s=1,…,S)。为了保证波束中期望方向的响应不会出现失真，则必须约束wHa(θ0)=1；同时考虑到天线阵列的工作需要和性能要求，自适应形成的方向图的主瓣波束宽度和旁瓣电平水平必须得到约束，约束条件为:

(19)

(20)

式(20)中，对加权系数进行范数约束：‖w‖≤ξ，可以提高自适应波束形成对随机噪声误差的稳定性。

2.3 优化模型的SOCP形式

(21)

由式(21)可知，原优化问题已转化为范数优化问题，显然，优化模型是一个典型的凸优化问题，可转化为SOCP形式进行快速求解。

则可将模型(21)描述问题的SOCP表示为：

(22)

3 仿真分析

实验1 算法的有效性验证

假设数据接收阵列为均匀直线阵，阵元数目为M=16。窄带远场期望信号的入射角度为0°，信噪比SNR=0 dB。干扰1信号和干扰2信号分别从-30°和40°方向入射到接收阵列，干噪比均为INR=30 dB。期望信号与干扰1和干扰2均相干。信号波长为λ，阵元间距d=λ/2。约束期望信号的入射角度范围为φ=[-5°,5°]，零陷展宽的宽度为10°，约束波束主瓣宽度为20°，设置零陷深度控制参数b=2，快拍数设为200，则在不同的旁瓣电平约束条件下，本文算法自适应形成波束如图2、图3。

图2 约束PSLL≤-20 dBFig.2 Constraint of PSLL≤-20 dB

图3 约束PSLL≤-26 dBFig.3 Constraint of PSLL≤-26 dB

如图2、图3所示，本文算法能够在在保证期望方向波束无失真前提下，严格约束主瓣宽度和旁瓣电平高度，并在快速移动的相干干扰方位附近形成宽零陷。同时也可看出，旁瓣电平的高低会影响到自适应波束形成时干扰零陷的深度；当约束的旁瓣电平较低时，干扰零陷的深度也会随之变浅。

实验2 零陷深度控制参数b的选择分析

实验参数选取同实验1，期望信号、干扰1和干扰2完全相干，约束旁瓣电平PSLL≤-20 dB，分别取b的值为1、2和3，自适应形成波束如图4所示。其余参数不变，b的值从1到3逐渐变化，每隔0.2取值一次，并做100次Monte Carlo实验，自适应波束形成后的输出信干噪比如图5所示。

图4 b取不同值时的波束图Fig.4 Beamforming with different values of b

图5 输出SINR随着b取值的变化Fig.5 The relationship between output SINR with b

由图4可知，当b取不同值时，本文算法都可以在满足主波束宽度和旁瓣电平的约束条件下在相干干扰周围形成宽零陷。而且随着b取值的增大，零陷深度也会加深，对相干干扰的抑制能力增强。由图5可知，在其他约束条件不变的前提下，自适应波束形成器的输出信干噪比先随着b的增大而增大，但当b>1.4后，输出信干噪比随着b的增大开始逐渐降低。这是因为随着b的增大，空间谱密度函数P(θ)中的干扰分量逐渐增大，干扰零陷的深度也随之加深，强相干干扰得到了抑制，阵列输出的SINR逐渐增大；但当干扰零陷的深度足以完全抑制强相干干扰后，b的增大不再影响输出信号中的干扰分量，而噪声分量得到增强的幅度又远大于期望信号的增强幅度，此时随着b的增大，阵列输出的SINR逐渐降低。因此，对于零陷深度控制参数b的选取，必须综合考虑实际情况对干扰零陷深度和输出信干噪比的要求。

实验3 本文算法性能随信噪比和快拍数的变化情况

假设期望信号、干扰1和干扰2完全相干，约束旁瓣电平PSLL≤-20 dB，调整快拍数从50均匀变化至500，每次取值做100次Monte Carlo实验，其余参数选取同实验1，得到本文算法的输出信干噪比同快拍数的关系如图6所示。接着再确定快拍数为200，令输入信噪比从-30 dB均匀变化到30 dB，每间隔10 dB做100次Monte Carlo实验，得到本文算法的输出信干噪比同输入信噪比的关系如图7所示。

图6 输出SINR随快拍数的变化Fig.6 The relationship between output SINR with snapshots

图7 输出SINR随输入SNR的变化Fig.7 The relationship between output SINR with input SNR

由图6可知，输出SINR对快拍数的变化不敏感，当快拍数较小时(50)，本文算法就可以稳定的达到想要的输出SINR，因此本文算法可用于对信号进行实时处理。由图7可看出，本文算法得到的输出SINR随输入SNR的增大而线性增大，这是因为本文算法约束了期望信号方向无失真，输入SNR的增大会提高输出中的信号分量，这将改善信号的检测效果。

4 结论

本文提出了一种基于SOCP的相干信号宽零陷自适应波束形成算法。该算法首先进行了解相干处理，然后重构了干扰加噪声协方差矩阵并对其进行零陷展宽处理；接着在保证期望方向波束无失真前提下，约束主瓣宽度和旁瓣电平，使得波束形成器的输出功率最小；最后将该问题转化为凸优化中的二阶锥规划问题，并使用凸优化工具箱进行快速求解。仿真验证表明，基于SOCP的相干信号宽零陷自适应波束形成算法可以在兼顾全部阵列性能指标的前提下，在相干干扰方位形成宽零陷。

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Adaptive Beamforming of Coherent Signals with Null Widening Based on SOCP

HUANG Chao1, ZHANG Jianyun1, ZHU Jiabing2,WANG Yu1

(1. Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037, China；2. No.38 Research Institute of CETC, Hefei 230088, China)

Because the traditional adaptive beamformer suffers from the output performance degradation and even interference suppression failure when the position of the coherent interference moves, a adaptive beam-forming of coherent signals with null widening based on second order cone programming(SOCP) was proposed. Firstly, the algorithm formed a Toeplitz matrix based on covariance matrix of received data. Secondly, the interference-plus-noise covariance matrix was reconstructed and optimized, and null widening technique was used in the covariance matrix. Thirdly, the optimum beamforming was designed with this method according to the rule of minimizing the beamformer’s output power of interferences and noise while keeping the distortionless response in the direction of desired signal and keeping constant side-lobe level and beamwidth. At last, the original problem was translated into SOCP problem, which could be solved effectively via convex optimization toolbox. Simulation results showed that the proposed algorithm could form a wide null in the strong coherent interference position under the premise of taking all the performance of array into account .

second order cone programming(SOCP); coherent interference; covariance matrix reconstruction; null widening; convex optimization

2016-04-05

中国博士后科学基金项目资助(2014M552606)；安徽省自然科学基金项目资助(1408085MF111);中国博士后科学基金特别资助项目(2015T81083)

黄超(1991—)，男，安徽舒城人，硕士研究生，研究方向：雷达信号处理和阵列信号处理。E-mail：18226658179@163.com。

TN911.7

A

1008-1194(2016)05-0117-06