循循善诱,鱼渔皆得———“同角三角函数的基本关系”的课堂实录与思考

2016-11-19 02:22浙江省宁波市第二中学顾文露
中学数学杂志 2016年10期
关键词:评析公式角度

☉浙江省宁波市第二中学顾文露

循循善诱,鱼渔皆得———“同角三角函数的基本关系”的课堂实录与思考

☉浙江省宁波市第二中学顾文露

一、背景介绍

听课,是教育教学的一个重要组成部分,是学习提高的一个重要途径和载体,是反省教学的一个好平台.最近笔者有幸参加了宁波市特级教师带徒活动,聆听了一堂新授课“同角三角函数的基本关系”.这堂课给人的感觉是循循善诱,鱼渔皆得.课堂上,教师教得自然,学生学得愉快.笔者听后感触颇多,深受启发,现整理成文,与大家分享.

二、课堂实录及评析

1.开门见山——一石二鸟

师:同学们,今天我跟大家一起学习1.2.2同角三角函数的基本关系,既然是1.2.2,那么肯定与什么内容有关?

生:与1.2.1的内容有关.

师:好!那大家还记得1.2.1的内容是什么吗?

评析:一方面,通过文字展示本节课的学习内容,激发学生的学习兴趣;另一方面,通过数字映射本节课的学习基础,让学生感悟数学是自然的.

2.复习回顾——指明方向

生:1.2.1的内容是任意角的三角函数.

师:怎么定义任意角的三角函数?

生:从“数”的角度:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=

从“形”的角度:角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线,角α的终边(或其反向延长线)交切线于点T,则sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,MP、OM、AT为有向线段.

师:很棒!从“数”与“形”的角度准确复述了定义.概念清晰,题目自然不在话下,请看典型问题:已知角α的终边经过点P0(3,4),求角α的正弦、余弦、正切.

师:从“数”的角度快速得到了答案,还有不同方法吗?

生:过P0作P0M0⊥x轴,利用△OPM~△OTA~△OP0M0即可得到.

评析:通过对任意角的三角函数的数与形定义的回顾,抓住了概念的核心,通过对典型例题的两种角度的求解,强化数形结合思想,为学生的后续研究指明方法和方向.

3.变化问题——直入正题

师:完整吗?

生:先求点P,再求cosα,tanα.

师:可以不求点P,直接求cosα,tanα吗?回归定义,寻找关系.

生:在Rt△OPM中,MP2+OM2=1⇒sin2α+cos2α=1⇒又根据定义sinα=y,cosα=x,则

师:从“形”的角度得到了sin2α+cos2α=1,又从“数”的角度得到,这就是同角三角函数的基本关系.我们再看看这位同学的解题格式,准确吗?

生:不准确!上述答案有四种了,事实上只有两种,应该要分开来写.

师:关注细节,规范书写!(教师板演)

评析:通过变换问题,层层递进,逐步导出同角三角函数的基本关系,重点突出,提高学生分析问题和解决问题的能力.通过板演,规范书写,注重实效.

4.理解公式——提炼升华

师:对于公式,我们要关注公式的三个方面:结构、适用范围、运用.

结构:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.

适用范围:sin2α+cos2α=1;(α∈R)

运用公式:正、反、变三个角度.

评析:关注公式的三个方面,对应思维上的三个层次:记忆—掌握—应用,为后续研究新结论指明方法,提升了学生的思维.

5.运用公式——升华思想

(1)正用公式,完善认知.

例1判断以下说法是否正确:

⑥sin4α+sin2αcos2α+cos2α=1.

评析:通过正误辨析,去伪存真,进一步熟记公式.关注细节,培养学生思维的深刻性与缜密性.

(2)反用公式,掌握技巧.

师:观察很仔细,对公式的正向使用很熟练.下面我们反向观察,即从右往左看,公式一:sin2α+cos2α=1,发现“1”可以用“sin2α+cos2α”来表示.这里有个常用技巧“1”的逆代.公式二:t的右边是一个分式,且sinα与 cosα的次数是一样的,说明对于关于sinα与cosα的齐次式,可以采用“齐次化切”的方法来求解.

例2已知tanα=2,求值:

①sinα,cosα;

师:学以致用!利用切化弦直接得到方程组,体现了方程的思想.

生:发现第二问中的前三个式子都是齐次分式,所以可以上下同除cosα或cos2α直接得到关于tanα的表达式.

师:第四个式子怎么办?

生:先通过“1”的逆代,构造出一个二次齐次分式,然后与前面相同处理分式.

师:借助常用技巧“1”的逆代及齐次化切,成功解决问题,接受得很快.

评析:先通过对公式的分析,教师点拨其常用技巧.借助例题,运用技巧,提高学生的解题能力.

(3)多向变通,发散思维.

师:成功玩转了公式,那么能否写出更多的同角三角函数的关系式呢?

评析:学贵于思,思才有所获,在学生的最近发展区,提出这个问题,意在把有限的课内延伸到无限的课外,引导学生去思考,去探索,从中培养学生学习数学的兴趣,也为数学爱好者提供发展平台.

6.反思小结——再度升华

师:通过今天的学习,你有哪些收获?

生:掌握了同角三角函数的基本关系.

师:这是知识层面的收获,那方法上有收获吗?

生:有“1”的逆代,构造齐次式,切化弦等.

师:以后碰到新的公式知道怎么研究了吗?

生:可以从正、反、变三个角度加以研究.

师:这是方法层面上的收获,那数学思想上有收获吗?

生:数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、方程思想.

评析:课堂小结,从知识、方法、思想三个维度依次展开,对课堂教学进行提炼与升华,使学生对所学内容的全貌有一个清晰的认识.

三、课后思考

1.两点收获

(1)围绕目标,体现高效教学的特征.

高效教学是每一位教师的毕生追求,新课程下的高效教学需要一些特征:其一是主动性,教师如何在教学中调动学生学习的积极性,需要用针对性的问题,及时地引导和激励学生进行主动参与,由此设计一些与学生“最近发展区”相切合的有效问题显得尤为重要;其二是核心性,高效教学必须始终围绕教学目标实施,这是高效教学的根本,如何围绕根本设计问题是教师能力的渗透和体现;其三是归纳性,围绕根本教学展开的高效课堂,需要将教学核心和重点进行归纳达到教学的目的,从而提高学生对知识的产生和发展过程有清楚的认识和理解,宏观上有利于学生把握知识的结构和关系,有利于提升学生数学学习的能力.

本节课始终围绕三维目标展开教学.在知识与技能上,通过对同角三角函数的基本关系的讲解运用,学生能熟练掌握本节课的重点.在过程与方法上,通过对基本关系的探究与运用,让学生亲历知识的生成过程,掌握对一般新事物(如恒等式)的探究方法(正、反、变三个层面).在情感态度价值观上,运用标题导入,让学生充分感受到数学是有用的,数学是自然的,提升学生学习数学的兴趣.

(2)精心设计,体现数学课堂的教育特色.

霍姆林斯基说过:“一名好教师意味着什么呢?首先意味着他是这样的人,他热爱孩子,感到跟孩子交往是一种乐趣.”一名好的教师不仅仅是看他的业务能力有多强,更要看他能否营造出一种宽松和谐、相互尊重的教学氛围,使学生轻松愉快地参与学习

在实际教学过程中,教师通过问题,循循善诱,启发学生的思维,引导学生进入知识本质的思考,归纳提升,让学生鱼渔皆得.细细品味本堂课师生间的每次对话,发现教师对学生的回答评价都很具体,注重评价思维过程,直指问题本质,充满了浓浓的人文关怀.这些都足以展现了教师深厚的教学功底、精湛的教学艺术及先进的教育理念.

2.两点值得商榷的环节

(1)在变化问题环节,执教者安排了两次问题的变化.笔者认为,第一次变化意义不大,而且点P坐标的求得,反而干扰了后面的探究.如果直接从典型问题变化到第二个问题,学生可能会更加容易回归到图形,直接发现勾股定理.这样可以留出更多的时间供学生自主探究.

(2)在反用公式环节,执教者先带领学生观察公式,总结出常用技巧,然后让学生根据教师提供的技巧加以求解.虽然学生对例2的求解比较顺利,但是学生在这个数学活动中的思维没有得到提升,充其量是对技巧进行一下操练而已.设想,如果先让学生求解例2,然后根据学生的解法(可能会与设定的方法有出入),不断修正,最后让学生自己提炼出常用方法与技巧,笔者认为这样更能调动学生的积极性,让我们的数学课堂更加精彩有效.

1.冒文文.“提炼”诚可贵,“升华”价也高——记一堂赛课“双曲线及其标准方程”[J].中学数学(上),2015(6).

2.王锋,杨志文.教学相长,点燃智慧之捻——对“导数的应用”一课的点评[J].中学数学教学参考(上),2015(12).

猜你喜欢
评析公式角度
恰巧而妙 情切致美——张名河词作评析
组合数与组合数公式
排列数与排列数公式
神奇的角度
评析复数创新题
等差数列前2n-1及2n项和公式与应用
一个涉及角度和的几何不等式链的改进
例说:二倍角公式的巧用
食品安全公共管理制度的缺失与完善评析
角度不同