运用转化思想巧解一元二次方程的教学研究

夷国良

摘 要：从数图交融、灵活解题，开方熟记、类比解题，因式降次、快速解题三方面研究运用转化思想巧解一元二次方程的教学，使学生在一元二次方程的解题中学会转化的思维。

关键词：数学；一元二次方程；转化思想；解题

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）33-0089-01

转化是数学教学中的一种重要的思维，运用这种思维可将未知的变为已知的，复杂的变为简单的，或者构建数学模型来解题。一元二次方程是学生们比较棘手的模块，将这种思想迁移到这里会很有必要。传统的求根通式虽然是万能的，但是往往会增加非常大的计算量，因此教师给学生讲授转化思想尤为重要。

一、数图交融，灵活解题

一元二次方程都对应着相应的抛物线图像。方程的根下既定的区间内，借图来研究端点的正负、顶点的位置和判别式，可将根的条件转化成方程系数的问题，用多个条件来限制，进而准确得到答案。以基本方程ax2+bx+c=0为例，a的正负号代表着图像的开口情况，a大于0即开口向上，反之向下。图像的对称轴为-b/2a，往往题目中会限定x的区间，简单画出图像将会大大减少思考的难度。以上图为例（图略）α、β为区间的两个端点，由于α、β的不同，根的包含情况也不同。下面看一道题目，如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于0，另一个大于1，试确定m的范围。这是一道求范围的题目，首先联想一元二次方程，公式里面出现了大于号和小于号。有两个解，说明△>0，但是如果用公式就出现m4，这是答题者不愿意看到的。再看题目中的条件，（1-m2）的正负不知道，当它大于0时，开口向上，此时x=1时，（1-m2）f（1）<0，即可得（m2-1）（m2-2m）<0，解不等式组得：-1

二、开方熟记，类比解题

学生在平时的学习中也可以用类比的思想来找出新旧知识的联系，从而在新旧知识的比较中更好更快地掌握新知识。配方法的理论依据是完全平方公式a+b±2ab=（a±b），配方法需要五个步骤。第一，将原方程化为一般形式。第二，式子的两边除二次项的系数，使其变为1，再将常数项传到方程的右边。第三，方程的两边加上一次项系数一半的平方。第四，开始配方，式子的右边为常数，左边是完全平方式。第五，开方求解，注意常数项的正负。如果可以将式子的左边通过变形成平方的形式，右边是一个大于0的常数，那么就可以用这种方面来解题。这种类型基本有三种形式：1）x2=a（a≥0）、2）（x+m）2=n（n≥0）、3）（mx+n）2=c（m≠0且c≥0）。这些都是开方法来解题的通式，如果能将式子变成这样，那么就能剩下很多时间。比如（x-5）2-36=0，这是变形后的，将它复原成一般式x2-10x-11=0，就可以清楚地看到二次项和一次项的系数可以变成平方的形式，基本上二次项系数为1的情况都可以用开方的方法来求解。同样，如果二次项的系数不为1，如2x2-10+25=0，可以进行变形（x-5）2=x2，这样就要求一次项和常数项的系数了。这种方法要求学生能准确观察出配方的形式，教师可以通过将二次方程转化为一次方程，将这种用有未知向已知转化的思想渗透给他们，从而培养他们的计算能力和抽象概括能力。

三、因式降次，快速解题

因式分解要求的层面更加高，这些题可以考查学生的观察能力和技巧。因式分解同样用到了降次的思想，以整化归，只要掌握技巧，那么这类题就会变得很简单。一般的因式分解需要四个步骤，首先将等式的右边所有项移到左边，接着将方程的左边化成式子想乘的形式，然后让每个分解出来的因式都为0，最后去解两个式子中的x。因式分解中的提公因式相对简单，如2x2+3x=0，x（2x+3）=0，即x=0或2x+3=0，即得方程的解为0和-2/3。在因式分解中，比较难的是十字相乘法，它也是运用了转化思想，以下图为例。

十字相乘法是借助了十字交叉线来分解，首先是将二次项系数和常数项系数都分解为两个数的乘积，然后将四个数并排排列，使其交叉相乘，再将相乘的数加在一起，看是否得出来的数是一次项的系数。若不是，将排列方法变换或将系数换成另外两个数的乘积，再算；若是，就将分解的式子按横的方式书写，进而求解。比如6x2+16x+15=0，首先将6分解为2和3，将15分解为3和5，2×5+3×3=19，即这种方法的分解是可行的。在书写因式的时候，要将2和3结合，3和5结合，即（2x+3）（3x+5）=0，解得x=-2/3或-5/3。其实，因式分解可以解决所有的式子，一般情况下出题人会优先考查因式分解中的十字相乘法，因此学生要多做题才能生巧。

四、结束语

总之，一元二次方程对于初中生来说是很难攻克的难题，如果学生慢慢研习这三种方法，一定可以在数学上有所提高。这种转化的思想影响着学习的方方面面，因此教师要培养学生的这种思想，提高学生的数学素养，从而为他们以后的学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]李雷.构造一元二次方程巧解定值定点问题[J].中学数学研究，2016（08）.

[2]陈雪良.构造一元二次方程解题的常用方法[J].初中数学教与学，2015（05）.