浅析广东卷和全国卷Ⅰ解析几何的命题特点

2016-11-19 08:41陈俊瑜
中学生理科应试 2016年4期
关键词:双曲线分值曲线

陈俊瑜

2016年广东高考数学将使用全国统一命题的试卷,结束了10年自主命题.面对高考的新变化,备考教师应 “抓同重异”——抓住两卷的相同点,重视两卷的差异点,“强增略减”——强化训练全国卷Ⅰ所增加的内容,简略全国卷Ⅰ未出现的考点.

一、近三年全国卷与广东卷解析几何试题考点分析

1.广东卷“解析几何”板块的试题特点

从表1可以看出,广东卷解析几何试题有如下特点:

(1) 题量稳定:题量为2道或3道.

(2) 题型稳定:题型为1或2道选择题和1道解答题,选择题主要考查椭圆或双曲线的方程与基本结合性质,两条直线平行的判定,圆的切线方程,直线与圆的位置关系;解答题主要考查求轨迹方程、动点的轨迹方程、弦长公式、函数的最值、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.

(3) 分值稳定:分值为24或19分,选择题5分或10分,解答题14分.

(4) 难度稳定:选择题难度中等偏易,解答题文理一般是同一道题,难度偏难,但解答题有3个小问,其难度梯度设置合理,区分度较好.

2.全国卷“解析几何”板块的试题特点

从表2可以看出,全国卷Ⅰ解析几何试题有如下特点:

(1) 题量稳定:题量为3道,约占全卷题量的

12.5%.

(2) 题型稳定:

题型为2道客观题和1道解答题,选择题主要考查圆锥曲线的方程与基本性质结合,直线与圆锥曲线的位置关系;解答题主要考查抛物线的切线,直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线标准方程及简单几何性质,弦长公式,函数的最值,曲线方程的求法,圆的方程与几何性质等.

(3) 分值稳定:

分值为22分,客观题10分,解答题12分,约占14.7%.

(4) 难度稳定:

客观题难度中等;解答题难度中等偏难,相对广东卷难度下降.

二、典型例题剖析

通过以上分析不难看出,广东卷与全国卷Ⅰ的“解析几何”板块在高考六大板块中的分值比重几乎是前两位.全国卷分值稳定在22分,广东卷分值为24或19分.广东卷的解答题比全国卷难,具有较好的区分度,但全国卷的客观题对学生的数学能力要求较高.

下面举例说明近三年“解析几何”,两种试题对学生考查要求.

1. 客观题剖析

例1(2014年广东理科4)若实数k满足0

y29-k=1与曲线x225-k-y29=1

的( ).

A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等

例2(2015年全国卷Ⅰ理科5):已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C上的两个焦点,若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( ).

A.(-33,33) B.(-36 ,36)

C.(-223,223)D.(-233,233)

评析例1和例2同样都是中档题的难度,考查的都是双曲线的标准方程及简单几何性质,广东卷简单很多,严格按照双曲线的性质c2=a2+b2可以直接写出答案;全国卷Ⅰ还结合向量数量积坐标表示,一元二次不等式解法一起考查,计算量大.

例3(全国卷Ⅰ文科16).已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C左支上一点, A(0,66),

当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .

评析例3以填空题形式作为压轴题出现,难度较大,得分率较低,考查双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系、最值问题,体现了一定的综合性,对学生的计算能力、数形结合、逻辑推理能力要求较高.而广东卷客观题“解析几何”作为压轴题没有出现过.

2. 主观题剖析

例4(2015年广东文理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

第(1)问通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论,属于送分小题;

第(2)问常规解法是设直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用方程的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论.

第(3)问通过联立直线L与圆C1的方程,利用判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.当然也可以通过数形结合的方法求出.

评析该题来源于人教版选修2-1第37页A组第4题:过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.该题设有三小问,难度逐渐加大.该题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于中档题.

例5(2015年全国卷Ⅰ文科20)已知过点A(1,0)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

(Ⅰ)求k的取值范围;

(Ⅱ)OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

评析该题考查直线与圆的位置关系、韦达定理、数量积、距离公式;相对广东卷难度小,属于常见的题型,相对中等生只要平时注重训练,拿满分不难.

例4与例5是广东卷与全国卷Ⅰ解析几何解答题的缩影,解析几何部分都是直线与圆,直线与圆锥曲线的相关问题,主要考查了(1)求直线与曲线相交弦中点问题;(2)主要知识点:求根公式,判别式,韦达定理,点到直线距离公式,向量数量积,弦长公式等;(3)数形结合思想;(4)计算量都较大,强调方法的选择.广东卷一般分三小问,起步容易,但计算量大,经常考部分曲线,要求考生注重细节,得高分难;全国卷Ⅰ考的题型比较常见,考查基本知识.广东卷与全国卷Ⅰ都要求学生平时训练要注重方法技巧的积累,有一定解题技能、小技巧的考生可以节约时间,减少计算量.

三、2016年广东高考“解析几何”(除选做题外)板块的备考建议

针对全国卷Ⅰ和广东卷在“解析几何”(除选做题外)知识点的异同,为了使广东考生更从容面对2016年全国卷Ⅰ的高考数学,建议按以下几点复习备考:

1.认真研究《考试大纲》.《考试大纲》是高考命题的重要依据,作为教师必须研读《考试大纲》,了解大纲的变化,必须把考试大纲中涉及的考点认真复习,不留盲点.

2.回归教材抓基础,重视基本概念.很多高考题来自教材的例题、习题,高于教材,特别是选做填空题,很多是教材上例题习题的改编题.在解析几何知识的复习过程中,要以课本知识为主,针对课本上的例题、知识要加以概括、提高和延伸.在复习的过程中,要充分挖掘教材实例、习题的功能,一定要重视基础知识、基本方法、基本技能的形成与运用.

3.加强计算能力训练,强化思维过程.解析几何部分对学生的计算能力要求较高,学生平时训练的时候要多训练,总结解题技巧.对一些基本方法要熟悉,如用定义法、直接法、动点转移法、参数法、交轨法等常用方法求轨迹方程.熟悉用韦达定理、判别式来研究直线与圆锥曲线的位置关系,掌握参数方程、基本不等式求最值,以及数形结合思想、分类与整合思想的总结.

四、总结

无论是考全国卷Ⅰ还是广东卷,解析几何这部分是考试的重点,全国卷客观题的难度比广东卷大,计算量多,所以在平时复习中要加强小题练习;解答题经常作为压轴题考,考生要训练不同题型的解答,提升解题能力,养成严谨细致的作答习惯,争取多得分.

(收稿日期:2016-01-12)

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