应用导数求函数参数范围

王学成

作为高中数学函数模块补充和延伸的导数，不仅丰富了很多初等函数的解题方法与途径，而且从更高力度上加深了学生对函数知识的认知.利用导数去处理的函数类问题是高考题中的热点问题，能够全面地考查学生对函数的认知程度与应用知识的能力，应用导数讨论一些函数中参数的取值范围是这类问题中的一种典型问题.本文结合一些例题来讨论这类问题的求解方法与一般规律.

一、导数与函数单调性结合确定参数范围

例1设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解析（1）由f ′（x）=1x-a≤0，即1x≤a对x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥|1x|max.

而由x∈（1，+∞）知1x<1，所以a≥1.

由g′（x）=ex-a，令g′（g）=0，则x=lna.

当xlna时，g′（x）>0.

因为g（x）在（1，+∞）上有最小值，

所以lna>1，所以a>e.

综上所述：a的取值范围为（e，+∞）.

（2）当a≤0时，g（x）必为单调增函数；

当a>0时，令g′（x）=ex-a>0，解得alna.

因为g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤-1，即0

结合上述两种情况，有a≤e-1.

点评先对f（x）=lnx-ax求导，利用条件f（x）在（1，+∞）上是单调减函数求出a的范围，再利用g（x）在（1，+∞）上有最小值求出a的范围，两者取交集.函数单调性与导数法则的掌握是解题的关键，利用导数对函数单调性讨论是解题的关键，函数方程与不等式间的相互转化是解题的技巧.

例2已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是.

解析f ′（x）=ex-2.令f ′（x）=0，解得x=ln2.

当x∈（-∞，ln2）时，f ′（x）<0，

当x∈（ln2，+∞）时f ′（x）>0.

所以函数f（x）在x=ln2处取得极小值，

所以f（x）min=f（ln2）=2-2ln2+a，

因为函数f（x）=3x-2x+a有零点，

所以2-2ln2+a≤0，即a≤2ln2-2.

所以a的取值范围是（-∞，2ln2-2].

点评先求出f（x）的导函数，令导函数等于0可解除其极值，经过分析发现其有最小值，而……