概率中的摸球问题

吴强

生活中存在着大量的随机现象，而概率正是对随机现象的数学描述，它刻画了随机事件发生的可能性大小. “摸球问题”是概率中的经典问题，在单元测试和中考中经常会出现，今天我们将详细地研究一下各类摸球问题.

一、 “摸球问题”中的确定事件与随机事件

例1 在一个箱子里放有1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同.

（1） 从箱子里摸出一个球，是黑球.这属于哪一类事件？摸出一个球，是白球或者是黄球，这属于哪一类事件？

（2） 从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？它们属于哪一类事件？

（3） 从箱子里摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能？

【分析】事件包括必然事件、不可能事件、随机事件，其中必然事件、不可能事件都是确定事件.

解：（1） 不可能事件；必然事件；（2） 摸到的可能是白球，也可能是黄球，属于随机事件；（3） 先后摸得可能是白球、白球；白球、黄球；黄球、白球；黄球、黄球四种可能.

【拓展】一个不透明的口袋中装有3个白球、2个黑球，它们除颜色之外没有任何差别，请你写出一个随机事件、一个不可能事件及一个必然事件.

解：从口袋中摸出一球，该球是白球为随机事件；从口袋中摸出一球，该球是黄球为不可能事件；从口袋中摸出一球，该球是白球或者黑球为必然事件.

二、 “摸球问题”中的可能性大小

例2 在一个不透明的袋子中装有2个白球和5个黄球，每个球除颜色外都相同.

（1） ①你认为从中任意摸出1个球，摸到的球可能是哪种颜色？

②你认为摸到哪种颜色球的可能性大？

（2） 怎样才能让摸到白球的可能性更大呢？

（3） 怎样才能让摸到白球的可能性比黄球大呢？

（4） 摸到白球的可能性与哪些因素有关呢？

解：（1） ①摸到的可能是白球，也可能是黄球；②摸到黄球的可能性更大；（2） 当口袋中白球增加时，摸到白球的可能性更大；（3） 当白球增加为6个时，摸到白球的可能性比黄球大（答案不唯一）；（4） 摸到白球的可能性与白球占总球数的比例有关.

【拓展】现在有4个黄球，4个白球，一个不透明的口袋，它们除颜色之外没有任何差别.请你根据所给的条件设计一种摸法：

（1） 任意摸出一球，一定是黄球；

（2） 任意摸出两球，一定都不是黄球；

（3） 任意摸出两球，一定一个是黄球，一个是白球；

（4） 任意摸出三个球，可能是两个黄球、一个白球.

解：（答案不唯一）（1） 口袋中放4个黄球；（2） 口袋中放4个白球；（3） 口袋中放1个黄球和1个白球；（4） 口袋中放4个黄球，4个白球.

三、 “摸球问题”中的概率

例3 袋子中装有3个红球和5个白球，这些球除颜色外均相同.在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，则摸出白球的概率是_______.

解：因为球除颜色外均相同，所以从中任意摸出一个球的机会是均等的.因为袋中共有8个球，其中5个白色的，所以任意摸出一个球是白色的概率是5/8.

例4 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为2/3，则黄球的个数为（ ）.

A. 2 B. 4

C. 12 D. 16

解：设黄球的个数为x个，根据题意得2/3（8+x）=8，解得x=4.所以黄球的个数为4.故选B.

【拓展】一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除了颜色外都相同.（1） 求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2） 现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球.搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是5/8，问取走了多少个白球？

解：（1） 摸出一个球是红球的概率为8/8+16=1/3；

（2） 设从袋中取走白球的个数为x个，根据题意得8+x/24=5/8，解得x=7，即取走7个白球.

我们在小学已经接触到与概率相关的初步知识，初中阶段，在小学学习的基础上，进一步抽象化、数学化地研究随机事件发生的可能性的大小.概率的内容在苏科版教材中分为三章，“摸球问题”将贯穿整个概率学习的始终，处理好“摸球问题”对于我们学习好概率至关重要.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）