浅谈高等数学中两类二阶导数的计算

邓小宇

【摘 要】二阶导数的计算是高等数学中非常重要的教学内容。由于多元复合函数和参数方程的特殊性，多元复合函数和参数方程的二阶导数学生掌握起来比较困难。因此，本文简单的谈谈这两类二阶导数的计算方法。

【关键词】多元复合函数；参数方程；二阶导数

在高等数学的教学中，二阶导数的计算是教学中的一个难点。二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导，各种类型下函数的一阶导数的计算学生基本上都没问题，但是不同类型下的二阶导数的计算思路各不相同，学生掌握起来比较困难。因此，本文简单谈谈多元复合函数和参数方程的二阶导数的计算方法。

1 多元复合函数的二阶导数

多元复合函数的类型多种多样，这里仅以一种类型加以说明。

设z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y），如果函数u=φ（x，y），v=ψ（x，y）都在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，求，或的二阶偏导数。多元复合函数的二阶偏导数的计算是在一阶偏导数的基础上再求一次偏导数。必须注意的是，在第二次求导数的过程中，具有与变量z相同的函数结构，、得看成是以u、v为中间变量，x、y为自变量的复合函数。

例1、设w=f（x+y+z，xyz），f具有二阶连续偏导数，求。

2 由参数方程确定的函数的二阶导数

设参数方程的一般形式为x=φ（t）y=ψ（t）α≤t≤β，其确定的一元函数为y=f（x）。由复合函数以及反函数的求导法则，有

如果x=φ（t）、y=ψ（t）还是二阶可导的，那么从（1）式又可得到函数的二阶导数。此时，（1）式两端同时对变量x求导。右端变量t看成是变量x的函数，t的表达式看成是以t为中间变量，x为自变量的复合函数。根据复合函数的求导法则以及反函数的求导法则，即可得到参数方程的二阶导数。

例2、求参数方程x=costy=sint确定的函数y=f（x）的二阶导数。

由以上例题可知，只要弄清楚变量之间的关系，求解多元复合函数以及参数方程的二阶导数就不再是一件困难的事情了。

【参考文献】

[1]吴传生.经济数学——微积分[M].高等教育出版社，2014.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2011.

[责任编辑：李书培]