数形结合思想方法在数学教学中的应用分析

蔡冬莲（湖南省益阳市益师艺术实验学校，湖南 益阳413000）

数形结合思想方法在数学教学中的应用分析

蔡冬莲（湖南省益阳市益师艺术实验学校，湖南 益阳413000）

现在，数学思想方法的教学已经得到了社会的认可，得到了应有的重视。数形结合渗透在数学知识之中，是初中数学解题中一种重要的数学思想方法，在数学领域中应用甚广。数形结合将数和形完美的结合在一起，贯穿了初中数学的两大主线-数和形。纵观整个数学教材，有许许多多的知识都体现数形结合的思想。在初中教学中，应用数形结合的思想方法，有助于学生解题思路的拓展和数学思维的发展。本文主要对数形结合的意义以及数形结合在教学中的应用进行了详细的分析。

初中数学；数形结合；教学；应用

1 引言

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科，是刻画社会规律和自然规律的有效工具和科学语言。为了适应时代的发展，每个公民都必须具有较强的数学知识，数学教学不仅要让学生掌握必需的数学知识，还应该提高学生的数学能力，数学的思想方法将两者连接起来。数形结合是利用数与形之间的对应关系，在数与形之间相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，最终简化问题的一种数学思想方法。

2 数形结合思想在数学教学中的地位和意义

2.1 数形结合在初中教学中的地位

数形结合在数学教学中具有非常重要的地位，具有整合性强、解法灵活的优点，可以对学生的创新能力、实践能力和思维能力加以考察，它将函数、方程、不等式等代数知识与多边形、数轴、圆等几何知识联系在一起，在数学教学中运用数形结合的思想，不仅能够帮助学生系统的掌握数学的概念，对学生思维能力的发展也有重要的作用。

2.2 数形结合在数学教学中的意义

数形结合不仅能够使概念完整化，解题问题具体化，使学生主动学习，不仅能够帮助学生理解各种公式，还能帮助学生尽快的解决问题。

2.2.1 学生对数学进行认知的基础是数学概念

数学概念被认为是数学这门学科的逻辑起点。数学概念是对知识的高度浓缩，是经过多次抽象的结果，其最大的特点就是仅仅应用文字表达相应的结论。数学本身具有抽象性，往往被人们看作是枯燥、难懂的学科。数形结合的思想方法就是对数学概念从“数”和“形”两方面进行表述，从本质上揭示数学知识，从而让学生不再仅仅理解和记忆概念的表面文字，而是对概念进行本质的理解。

2.2.2 有助于提高解题能力

学习数学知识就是为了应用学到的知识解决具体的数学问题，数学知识的掌握情况是影响数学问题解决能力的主要因素，而数学思想方法的掌握和应用情况也或多或少的影响着数学解题的能力。数学思想方法的一种重要方法就是数形结合，对其的掌握能够帮助学生尽快找到解题的途径，进而提高学生的解题能力。

数形结合就是根据对象的数形将数和形巧妙的结合在一起，解决问题的关键所在就是在数和形之间相互转化，在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题。在解决代数问题时，想到它的图形，进而找到解题的思路。实现抽象问题与具体形象的相互联系和转化，化抽象为具体，化难为易，使问题简单化。

2.2.3 数形结合有助于学生全方位、多角度的思考问题

在数学教学中，数形结合思想能够培养学生的想象力和创造力。在初中课本当中，大部分的章节都出现了思考、探究、练习、复习巩固等问题，在课堂教学当中应该创设情境，激发学生急于求知的好奇心，引发学生求知的欲望。

3 数形结合思想方法在数学教学中的应用

3.1 数结合形的思想方法

数学具有高度的抽象性，为了能够使问题具体化，就必须运用数形结合的思想，可以把抽象不易解释的数与直观形象的形结合在一起，使数在形的帮助下促使学生理解接受数。例如，虚数就是由于找到了几何解释才在数学中站稳了脚跟，从而成为了有关复数的数学分支。加强学生对数形结合思想的培养，可以有效的提高学生分析问题和解决问题的能力。

例1：在推导单项式乘法、单项式与多项式的乘法以及多项式的运算法则时，借助于图形表示就可以让学生更好的接受。比如，求3a×4a的值时，可以将4a作为一个长方形的长，3a作为长方形的宽，那么长方形的面积就可以用3a×4a表示，如图1所示。

图1

于是有3a×4a=12a2，通过进一步的分析概括就可以得到单项式乘法的运算法则。

对于推导多项式与单项式的乘法法则以及多项式的乘法的法则使均可作类似的设计。

例2设a＞0，b＜0，且∣a∣＜∣b∣。①用“＜”连接a、-a、b、-b；②用“＞”或“＜”号填空，a-b_0，-ab_0，1/a_1/b。

分析：这种类型的题如果一拿到题就考虑有理数的性质，容易搞乱学生的思维，使得学生难得其解。如果换种角度，借助于数轴分析，这个问题就变得清晰、明了。

图2

由题设得数轴。

学生就会很容易的看出：

3.2 以数解形

“以数解形”，就是利用“数”的精确性揭示出“形”中蕴含的数量关系，形虽然直观具体，简单明了，但是缺乏数的精准，形结合数的思想方法使得直观的形与准确的数结合在一起，使得形在数的帮助下得到了新的发展和新的面貌。下面通过举例来说明用数的方法解决形的问题。

例3：已知：如图3，圆O内切于三角形ABC，其中AB=9，AC=11，BC=13。求：过三角形ABC的各个顶点的切线长。

图3

分析：观察图形，过三角形ABC三个顶点的切线分为为AD和AE，BD和BF，CE和CF，且AD=AE，BD=BF，CE=CF。已知条件中给出了三角形三条边的长度，这时可以想到，将三角形ABC的三条边均拆成某两条线段的和，然后化成方程组问题进行求解。

解：如图3。

设圆O与三角形ABC三条边分别相切于点D、E、F，设AD=x，BD=y，CF=z，则有：

所以过三角形ABC的顶点A、B、C的切线分别为5、4、9。

例4：如图4，矩形ABCD中，AB=5，AD=8，在AB、AD上各取点Q、P，使QP=3，求五边形PQBCD面积的最小值。

图4

分析：要想做到五边形PQBCD面积的最小值，只要求出三角形APQ面积的最大值，令AP=X，AQ=y，则：

注意到x2+y2=32，那么这个问题就可以转换为代数问题：在x2+y2=32的条件下，求1/2·xy的最小值。

由于上式作为关于t的一元二次方程有实根，故△=81-4（2S）（2S）≥0

∴△S≤9/4∴APQ面积的最大值为9/4，

4 数形结合思想的培养

4.1 在数学概念教学中培养数形结合思想

在平时的课堂教学中，为了加深对概念的理解，应该把直观的模型或图形带到课堂教学当中，在课堂上老师和学生相互交流，总结出具体图形及数量之间的关系。老师要引导学生要从实际生活出发，充分发挥数学和生活的联系，在日常生活中学生联系实际，找到解题的方法，深刻体会数学在生活中的实际价值。

4.2 在数学练习题中培养数形结合思想

在讲解具体的数学习题时，应该引导学生在无形当中找到习题中所包含的数学方法和数学思想，而不是过分强调解题的速度，直接把正确的思维告诉学生。学生在做数学习题时，要鼓励他们积极探索数形结合的思想，根据题干找到问题的所在，找到解题的方法，最后自主的完成习题的解答。学生经历这个过程之后对数学知识的理解就会加深。

5 结束语

所有的事物都是由数和形两方面组成的，数和形的结合一定存在于方方面面当中。数形结合作为一种思想方法，蕴含、渗透在数学知识当中。它是以数学知识为基础，将数量关系和空间形势结合在一起，利用数和形的优势互补去解决各种各样的问题。在中学阶段在解决问题时数形结合思想起到了非常关键的作用，数学结合可以使学生学习主动化，使问题简单化，概念形象化。由此可见，数形结合是数学思想方法的核心，在数学中有着不可替代的作用。我们每个老师在平时的教学当中应该有意的渗透数形结合的思想，并不断思考渗透的策略，提高教学的方法。

[1]高爱红.数形结合思想在初中数学教学中的应用研究[J].数学教学通讯，2016（01）：45～46.

[2]教育部.义务教育教学课程标准[S].北京师范大学出版社，2011.

[3]刘桂玲.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].中国校外教育，2015（08）：24～25.

G633.6

A

2095-2066（2016）22-0273-02

2016-6-3

蔡冬莲（1975-），女，中学一级教师，本科，主要从事中学数学教育工作。