涉及实零点的亚纯函数Picard型定理

徐成雨, 刘晓俊

(上海理工大学 理学院,上海 200093)



涉及实零点的亚纯函数Picard型定理

徐成雨, 刘晓俊

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

利用亚纯函数的正规理论和值分布理论的基本概念、研究方法以及研究成果,并以Marty正规定则为基础,对零点均是实数的亚纯函数的Picard型定理进行了研究,得到:设d∈N+,f是复平面上的超越亚纯函数,若存在M≥0,使得f满足f的零点均为实数;f的极点重级至少为3;当=0时,必有,则f ′-zd有无穷多个零点.

亚纯函数; 正规族; 实零点;Picard型定理

1 问题的提出

1959年Hayman[1]证明了Picard型定理(定理1).

定理1 设k∈N+,f为复平面上的亚纯函数,若f≠0且f(k)(z)≠1，则f≡C,C为常数.

1979年Gu[2]证明了对应的正规定则(定理2).

2013年童晓丽等[3]首先考虑将“f(z)≠0”减弱为“f(z)的零点分布在一条给定的直线上”,得到了定理3.

定理3 设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对于任意f∈F,有:

b. f的零点分布在一直线上;

c. f的极点重级m≥3;

d. f ′(z)≠1.

则F在D上正规.

2015年洪苏敏等[4]又将定理3中的条件“f′(z)≠1”改为“f′(z)≠zd”,得到定理4.

定理4 设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对于任意f∈F,有:

a.f的零点分布在一直线上;

c. f的极点重级m≥3;

d. f ′(z)≠zd,这里d∈N+.

则F在D上正规.

2008年Pang等[5]利用拟正规定则将定理1条件中的“f(z)≠0”减弱为“f零点除了有限个之外均为重级零点”,并将例外值推广到“不恒为零的有理函数”,得到定理5.

定理5[5]设f为复平面上的超越亚纯函数,且其零点除了有限个之外均为重级零点,R≢0是有理函数,则f ′-R有无穷多个零点.

2012年Chang[6]又进一步利用拟正规定则,讨论了当f在零点处导数一致有界的情况,得到了定理……