整数幂模p剩余的差的均值

吕 叶，徐哲峰

(西北大学 数学学院， 陕西 西安 710127)



·数理科学·

整数幂模p剩余的差的均值

吕 叶，徐哲峰

(西北大学 数学学院， 陕西 西安 710127)

设p是奇素数, l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数，利用三角和的方法研究了整数的m次幂模p剩余与l次幂模p剩余之差的2k次均值，并得到渐近公式。

m次幂模p剩余；均值；三角和；渐近公式

S(n,δ)=#{a:1≤a≤n-1,(a,n)=1，

并给出了

S(n,δ)=

Sm,n,λ,δ={a:1≤a≤λn,(a,n)=1,|a-(am)n|≤δn}。

在文献[3]中，徐哲峰对|a-(am)n|的均值分布问题进行了深入的研究，推广了文献[1-2]中的结论，获得了如下的渐近公式

其中ω(n)表示n的不同素因子的个数。

本文对文献[3]中的问题进行了一种推广，利用三角和方法研究了整数m次幂模p剩余与l次幂模p剩余之差的2k次均值，获得了一些较强的渐近公式。主要结论如下。

定理1 设p是奇素数，k为非负整数，l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数，则有渐近公式

在定理1中取l=1，便获得了文献[3]中当λ=δ=1，n=p且k为偶数时的相应结论，即如下的推论。

推论1 设p为奇素数，m≥2为整数，则有渐近公式

推论1 设p为奇素数，k为非负整数，则有渐近公式

1 一些引理

引理1 设p为奇素数，l为正整数，r为满足1≤r≤p的整数，则有

其中e(y)=e2πiy。

证 明 参见文献[3]引理3。

引理2 设q≥1及t≥2均为整数，多项式f(x)=a1xr1+…+atxrt，其中r1,…,rt为一组不相等的非零整数，且满足(a1,…,at, q)=1，则有估计式

证 明 参见文献[4]定理1。

引理3 设s,r为满足1≤s,r≤p-1的整数l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数，则有如下估计式

证 明 因为1≤s,r≤p-1，所以(s,r,p)=1，又因为l≢m(mod p-1),则由引理2可得

引理4 设a,b为整数，p为奇素数且a,b,p满足p⫮(a,b)，则对任意的满足m≥2,α≥1的整数有

其中，ω(n)表示n的不同素因子的个数。

证 明 参见文献[3]引理1。

引理5 设r,s为整数l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数，则有如下的两个估计