用等比数列对秒针分针相遇问题再探讨

徐飞翔

在辅导资料中有这样一道题：

一般指针式钟表中的时针、分针与秒针都可视为匀速转动，分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为

A.1 min B. 59/60 min C. 60/59 min D.61/60 min

解析 本题是一道经典的圆周运动的追及问题.常规思路是秒针再次和分针重合，必定秒针比分针多转了一周即2π弧度，设秒针的角速度为ω1 分针的角速度为ω2，ω1=2π1min-1 ，ω2=2π60min-1 . 由圆周运动的追及条件，列方程得：（ω1-ω2）t=2π，则得

t=6059min. 故答案为：C.

这种解法比较常规，在有的物理类期刊中，也有介绍圆周运动的追逐和相遇问题，这里就不再赘述.

而上述习题在该资料中所给的答案是这样分析：秒针转动一周回到原出发位置的时间是1分钟，但此时分针也向前转动了一分钟（160圈），秒针要跟分针再次重合，需要继续前进一格（160圈），故D正确.

显然第一种解法是没有问题的.为什么两种解法的结果不同呢？那么第二种解法的错误原因何在？这里我们对本题辅导资料中所给的答案重新分析，来探究其中的问题.

本题可以运用数学归纳的方法来分析.我们先来进行逻辑推理，分针转一周要60分钟，秒针转一周需要时间1分钟.也就是说从重合处出发再经过1分钟秒针回到原位置，而分针已经从原位置前进了160周，秒针再用160分钟前进160周，而分针又前进了1602周，秒针再用1602分钟前进1602周，依次递推，当分针前进160n周时，秒针再往前追160n周用时间160n分钟，直到重合为止.由此可知，秒针追上分针所用的总时间为：

t=1+160+1602 +1603+…+160n（单位：min）这里n→∞. 观察此表达式可知，此表达式为等比数列求和，联系等比数列求和的通项公式Sn=a11-qn1-q；……