例析新高考数学必修2《立体几何中的角》

广东省佛山市华附南海实验高中(528200)

周建军 ●



例析新高考数学必修2《立体几何中的角》

广东省佛山市华附南海实验高中(528200)

周建军 ●

在新课标高考中，广东省将采用全国卷，而全国卷中试题大多以中档题为主，立体几何题已经不再如广东卷那样属于送分题.在全国卷的立体几何问题中，通常第一问是证明直线的位置关系，第二问是求角.有关立体几何中角的问题的求解已经成为阻碍学生得分的主要因素.本文将以典型例题来阐述必修2立体几何中角的有关问题的有效教学和处理模式.

线线角；线面角；二面角；等体积法；空间角；空间想象能力

一、异面直线所成的角(线线角)

例1 如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为____.

思考 异面直线所成的角本是空间角，不便直接求解，可考虑将其中一条直线平移至与另一条直线相交，构建三角形，转化为平面角，以三角形为载体，通过解三角形进行求解.

解析 过点E作EF∥B1C1交A1B1于F，连结AF. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC∥B1C1. 又EF∥B1C1，所以BC∥EF. 直线AE与EF所成的角即为异面直线AE

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1.

∵EF∥B1C1，∴EF⊥平面ABB1A.

又AF⊂平面ABB1A1，∴EF⊥AF.

二、直线与平面所成的角(线面角)

例2 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为____.

思考1 根据线面角的定义，线面角指的是斜线和斜线在平面内的射影的夹角.在这里，要得到斜线A1B的射影，需过点B作出平面A1B1CD的垂线. 如何作出垂线并证明之是解决问题的关键.

解析 过点B作BE⊥B1C于E，连结A1E.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC⊥平面BCC1B1.

∵BE⊂平面BCC1B1，∴DC⊥BE.

又BE⊥B1C，DC∩B1C=C，∴BE⊥平面A1B1CD.

∴直线A1B在平面A1B1CD内的……