求多面体体积的六种常用技巧

黄光鑫●

四川师范大学附属中学高中部(610066)



求多面体体积的六种常用技巧

黄光鑫●

四川师范大学附属中学高中部(610066)

无论在数学的平时考试或者高考中经常会出现求多面体体积的题目，尤其是文科高考题，经常在立体几何的大题中出现求体积的小问.有的学生由于缺乏求体积的技巧而失分，甚为可惜！下面我们系统总结求多面体体积的几种常用技巧供大家参考.

一、换底

例1 (2014年福建文科(19))如图1，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.

解析1 (1)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

∴AB⊥CD，又∵CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD.

(2)若以△MBC为底面求三棱锥A-MBC的体积，不仅ΔMBC的面积不好计算，而且A点到平面MBC的距离即三棱锥A-MBC的高更不好计算，所以考虑换底：选择以MAB为底面的话，CD就是三棱锥的高，容易求得：

问题迎刃而解.

点评 换底是求三棱锥体积最常用的一种技巧.

二、分割

例2 (见前面例1)

解析2 (1)略.(2)也可以将三棱锥A-MBC

看作一个大的三棱锥A-BCD切掉了一个小的三棱锥M-BCD而成的.于是可以作MN⊥BD于N，显然MN⊥平面BCD，如图2.

所以VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD

例3 如图3，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q，且满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ).

在ΔSCD中，由余弦定理可得：

于是VS-ABC=VA-SCD+VB-SCD

选C.

点评 第二种分割方法显然比第一种分割方法运算量要小得多.抓住了图形和数字的特殊性找到的分割方法更优越.

三、补形

解析1 以正方体的面对角线为棱可构成一个正四面体，所以可将原正四面体还原补成一个棱长为1的正方体，此正方体、正四面体的顶点在同一球面上(如……