巧用构造法解题

崔 文● 侯宇虹 ●

山东省文登第一中学(264400)



巧用构造法解题

崔 文● 侯宇虹 ●

山东省文登第一中学(264400)

“构造法”适用于解决某些使用通常方法，按照定向思维难以解决的问题，根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、解决问题.一般有构造辅助函数、辅助方程、辅助数列、辅助图形、辅助向量、辅助模型、辅助对偶式等.

1.构造辅助函数

分析 许多证明复杂不等式的问题，首先构造一个辅助函数，然后利用导数得到构造的新函数的最值情况，使问题得证.这种类型的问题是近几年高考考查的重点，备考要格外重视.

2.构造辅助方程

分析 判别式法是求此类分式函数值域方法中的一种,它的理论依据是将y=f(x)化为关于x的二次方程,那么方程必有实根,判别式Δ≥0,由此可求得函数的值域.

(2)当y=1时,x=0, 方程有解，所以y=1成立.

3.构造辅助数列

例3 数列{an}中，若a1=1，a2=3,an+2+4an+1-5an=0 (n∈N*),求an.

分析 许多数列不是等差、等比数列，可间接构造一个等差、等比数列，或者熟悉的数列，然后求通项公式.

解析 由an+2+4an+1-5an=0得an+2-an+1=-5(an+1-an).设bn=an+1-an，则数列{bn}是等比数列，公比是-5,首项b1=a2-a1=2,∴an+1-an=2·(-5)n-1，即a2-a1=2·(-5)0,a3-a2=2·(-5)1,a4-a3=2·(-5)2,…,an-an-1=2·(-5)n-2.

4.构造平面辅助图形

分析 利用坐标系构造过定点M(-2，0)和动点P(cosx,sinx)的直线斜率范围为所求值域.

5.构造立体辅助图形

分析 由已知条件cos2α+cos2β+cos2γ=1(α、β、γ为锐角)，联想到长方体的对角线与过同一顶点的三条棱所成的角的余弦也有此关系.

6.构造辅助向量

分析 本题可以看成两个向量的数量积，然后借助数量积的运算性质求解.

7.构造辅助模型

例7 方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解的组数是( ).

A.24 B. 72 C.144 D.165

分析……