带有周期势的分数阶Schrödinger-Possion系统基态解的存在性

董晓芳

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)



带有周期势的分数阶Schrödinger-Possion系统基态解的存在性

董晓芳

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

研究了R3中一类带有周期势的分数阶Schrödinger-Possion系统基态解的存在性。 在f(x,t)满足一定条件下, 得到能量泛函的山路几何结构,结合变分方法证明了基态解的存在性。

分数阶Schödinger-Possion系统; 周期势; 基态解

0 引言

在本文中, 我们主要讨论如下的带有周期势的分数阶Schrödinger-Possion系统

(1)

的基态解的存在性结果, 其中α∈(0,3),p∈[2,3+α), V是连续的周期势, f是连续的周期函数, φ是第二个方程的弱解。

当α=p=2时, 系统(1)表示如下的Schrödinger-Possion系统

(2)

当N≥3,α∈(0,N),p∈[2,(N+α)/(N-2))及非线项f=0,系统(1)可化为如下的方程

(3)

系统(2)在物理学中的应用非常广泛, 它是在描述非线性Schrödinger方程与静电场相互作用的孤立波的量子力学模型中提出的, 参看文献([1,2])。

近年来, 与方程(3)相似的Choquard方程

(4)

的解的存在性和解的相关性质已经被广泛的研究。 在文献[3]中, Lions第一次通过临界点理论研究了Choquard方程非平凡解的存在性; 在文献[4]中, 作者考虑了p≥2时广义的Choquard方程, 当N,α,p定义在某个非空实数集上, 他们证明了方程的每个正解是径向对称的并且关于某个点是单调递减的; 在文献[5]中, 与[4]相同的假设下, 作者研究了在电磁势情形下解的存在性和多重性结果并且建立了基态解在无穷远处的渐近衰减性; 在文献[6]中, 作者消除了[5]中的限制条件并且证明了当参数在一个合适的范围时基态解的正则性, 径向对称性以及无穷远处的渐近衰减性; 在文献[7]中, 作者研究了线性势函数和非线性势函数对广义Choquard 方程基态解的存在性与集中性的作用。……