混合变分不等式的变分原理

黄冬梅

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)



混合变分不等式的变分原理

黄冬梅

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

描述并分析了有限维空间中混合变分不等式的变分原理,同时给出了混合变分不等式的解基于鞍点的刻画,最后,针对一些特殊情型给出了混合变分不等式问题基于经典优化问题的等价性刻画。因为线性，非线性补问题也可纳入混合变分不等式问题的框架，所以文章中得到的结果也可以直接用于这类问题。

变分不等式；混合变分不等式；变分原理

0 引 言

混合变分不等式是Duvaut与Lions在文献[1]中引入的,

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0,∀y∈K，

(1)

1 预备知识

为了描述问题(1)的变分原理,先介绍一些凸分析中的基本概念和结果[6,7]。

定义的函数δK称为K的示性函数。由δK的定义,可以验证δK是一个闭正常凸函数而且domδK=K。

f(y)-f(x)≥〈ξ,y-x〉

则称ξ为凸函数f在点x处的次梯度。一般来说,在某点处的次梯度未必只有一个,将f在点x处的全体次梯度构成的集合记为∂f(x),并称之为f在点x处的次微分。

这表明，x∈levf(f∘g,β)，即f∘g下半连续。

即f+g是闭的。

凸函数的次微分与共轭函数之间有着如下的联系[6,7]。

此外,若f为闭正常凸函数,则ξ∈∂f(x)也等价于x∈∂f*(ξ)。

有了上述准备, 可以将混合不等式问题(1)的解与函数次微分之间联系起来。

证明 先证充分性。由于K为闭凸集,δK为闭正常凸函数,又由于f也为闭正常凸函数,且domf∩K≠Ø，利用引理1,f+δK也为闭正常凸函数。假设-F(x)∈∂(f+IK)(x),则

(f+δK)(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉。

(2)

特别地,取y∈domf∩K,则上式变为

f(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉,

这表明x∈K。在(1)中取y∈K,则有

f(y)-f(x)≥〈-F(x),y-x〉,∀y∈K,

也即

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0,∀y∈K。

这样,x是混合变分不等式问题(1)的解。

再证必要性,假设x∈K是混合变分不等式问题(1)的解,则对任意的y∈K,有