分类讨论思想方法解决含参一元二次不等式问题

栗晓倩

摘要：新课标中明确提出要求学生掌握求解一元二次不等式的基本方法，通过对不等式的研究，将不等式、方程与函数有机地结合起来。含参一元二次不等式问题需要对参数的值进行分类讨论，在解题过程中考察学生的逻辑性、综合性、探索性，思维条理性和概括性。

关键词：含参；一元二次不等式；分类讨论思想

中图分类号：G634.6文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）12-0036-01

数学中的分类讨论思想方法，是指有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，或者些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，虽然需要讨论，但就其解题方法及转化手段而言都是一致的，所以在解题过程中并不复杂，只需条理清晰。即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

不等式是高考的一个重要考点，其中解一元二次不等式是重点考查的内容，在近几年的高考试题中，导数一直是作为必考的重点内容出现的，而在利用导数研究函数的单调区间、极值、最值以及求有关参数取值范围的问题中，往往基本点都是关于一元二次不等式的基本解法，借助于解一元二次不等式（求一元二次方程的根、画一元二次方程的图象、解一元二次不等式来解一些含有参数的不等式。）来判断原函数的单调性，进而研究函数的其他性质。而其中含参一元二次不等式更是高考导数内容的难点，由于参数的不确定性和任意性加大了不等式求解的难度，对参数的值需要分类讨论，最后综合各类结果总结。其中一元二次不等式参数位置主要在二次项系数，一次项系数和常数项。首先若二次项系数为0则方程退化为一元一次不等式，若二次项系数不为0，则参数正负决定开口方向；一次项系数和常数项决定了Δ正负即图像与x轴交点个数和交点坐标。下面给出五道例题分别针对参数的不同位置对参数进行讨论：例1参数是二次项系数，需考虑退化为一次函数的情况；例2参数是一次项系数需讨论Δ的三种情况；例3方程可因式分解需讨论两根的大小；例4首先对二次项系数进行分类讨论，然后对方程根的个数进行分类讨论，当Δ>0时又对方程的根的大小进行分类讨论；例5是不等式组，求解时需要注意对x的范围取交集。

（作者单位：哈尔滨师范大学）

参考文献：

[1]张海群，朱家荣.例谈数学思想方法在初中数学解题中的应用[J].成功：教育版，2011（10）：178-179.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[J].北京师范大学出版社，2007（02）.

[3]杨春娟.含参一元二次不等式的解法与恒成立问题[J].中学生数学，2015（3）：28-28.