椭圆及其标准方程教学中的困惑与对策研究

李文铭+万凤燕

摘 要 《椭圆及其标准方程》内容概念性较强，教学中存在较多不容易处理的知识点，需要立足从圆出发来全方位探讨椭圆，才能让学生更好地掌握教学要点和难点。本文对椭圆及其标准方程教学中的困惑与对策进行了分析。

关键词 椭圆及标准方程 教学困惑 对策

圆锥曲线是高中数学解析几何的第二大部分，椭圆正是研究圆锥曲线的第一步。而且椭圆概念及其方程正是之前用坐标法研究直线和圆的深入，这种方法同样适用于双曲线和抛物线的学习，这更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。同时，椭圆概念与方程将曲线与方程对应了起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想，而这种思想贯穿在整个高中阶段的数学学习中。所以说，椭圆的学习与研究重中之重。

本节内容的教学重点是掌握椭圆的概念、从具体情境中抽象出椭圆的本质特征；教学难点是椭圆标准方程的推导。但是在实际教学中存在着很多困惑。

问题1：椭圆定义的教学中如何体现出与圆的联系？

在椭圆定义的教学中，大多教师以行星运行轨迹、椭圆形的镜子、鸡蛋、槽罐车等实例图片开头来引起学生探究椭圆概念的兴趣，之后在黑板上展示画椭圆的过程（有些老师通过几何画板展示），以此让学生来直观感受椭圆，然后通过引导学生探讨能够画出椭圆所需要满足的几何条件，从而师生一起合作得出椭圆的定义。

之所以这样教学是因为老师们觉得这样最节省时间，而且之后椭圆方程的推导才是重点，概念通过之后的练习可以再次进行巩固，开始一知半解没有关系。但是教师们所忽略的是，椭圆概念都没有生成，何来的方程理解，这样对学生来讲都只会是生搬硬套，硬性规定，从而增加学生负担。

解决方法：新课标倡导积极主动、勇于探索思考的学习方式，鼓励学生的再创造。新概念的教学要从原有概念出发，这样才有基石，而不是空中楼阁。从圆过渡到椭圆，正符合这样的理念。

先从图1利用PPT的动态展示入手，让学生先直观感受圆与椭圆的区别与联系，然后演示生活常见的椭圆的实例图片让学生感受椭圆。接着利用事先准备好的教学用具画圆（老师动手展示），接着展示图2，引导学生再次深入体会圆与椭圆的联系，之后放手让学生探究如何画椭圆（先思考2分钟，再进行小组操作），完成之后，教师引导全班范围内的讨论。

通过上面的操作，不仅可以让学生直观感受椭圆概念的生成，还可以为下面的教学奠定从圆的角度思考椭圆的基调，从而为椭圆标准方程的推导顺利做好铺垫，可谓是水到渠成。

问题2：如何解释圆压扁得到椭圆？

在解释这个问题的时候，教师往往只是用PPT动态展示其变化过程，然后再用一句话草草结束，而没有从数学角度来进行解释。其实这个只需要一个简单的推导，就能让学生再次用“用坐标法”求轨迹的“再创造”的过程。

如图3，为了方便起见，将圆的横坐标保持不变，纵坐标压为原来的一半，得到一个椭圆，其轨迹方程是什么呢？

设圆的方程为+=，压缩后点的坐标为（，），则点（，2）在圆上即+（2）=，所以椭圆的坐标方程为+4=。

问题3：为什么定义动点到两定点之间的距离为2a和=？

对前一个问题，有些教师只是一句话解释说这是规定，为了方便起见；而有些教师为了让学生体验其过程，就重新将距离变为a来进行方程推导，然后进行对比，得出定为2a时方程的简洁性。而对后一个问题的解释几乎都是在推导方程的最后一步来定义，再在椭圆中找出其实际背景。

然而，对于这两个问题的解释都违反了知识的发生过程，应该是从椭圆的特征与图形出发来推导出椭圆的标准方程，而不是推导出标准方程后再来寻找实际背景，这样只会让学生觉得这两个定义是老师的硬性规定，从而导致困惑。

解决方法：如图4，在建立坐标系之后，就应该着手设点，但是不只是设两个焦点，而是对椭圆与坐标轴的所有交点进行设立，这样就自然而然能得出定长设为2a的依据，然后再探讨所设字母间的关系。

师：即设点F1（-c，0）、F2（c，0），A1（-a，0）、A2（a，0）、B1（-b，0）、B2（b，0）

则|F1F2|=2c、|A1A2|=2a、|B1B2|=2b

那么|A1F1|+|A1F2|=？

生：2a。

师：为什么？

生：因为椭圆关于x、y轴对称，所以|A1F1|=|A2F2|

即|A1F1|+|A1F2|=|A2F2|+|A1F2|=|A1A2|=2a，所以动点到两定点之间的距离为2a

师：很好。那么|B1F1|+|B1F2|=？、|M1F1|+|M1F2|=？

生：2a。因为椭圆上任意一点到两个焦点的距离都相等。

师：很好。那么a、b、c三者有什么关系吗？

生：构成勾股定理，即b2+c2=a2。

师：为什么？

生：△OF1B2为直角三角形，再根据椭圆的对称原则得出|B2F1|=a，所以|OF1|2+|OB2|2=|B2F1|2，即c2+b2=a2。

师：很好。

分析：通过设A1、A2两个点的坐标推出椭圆上任意一点到两个焦点的距离为2a，这完全通过引导学生独立得出这个有意义的发现，再顺势通过分析椭圆中的特殊三角形得出三者之间的关系，为下面方程的推导埋下伏笔。这符合知识的发生过程，可让学生再次感受椭圆的特征，从而加深理解。

问题4：如何化简一个等式中出现两个根式的这种类型？

对于教材上直接代入然后通过二次开方来进行化简，虽然此方法具有通性，也可适用于一般的两个根式的化简，但是运算繁琐，技巧性不强，可以利用下面两种方法来锻炼技巧和开拓思路。

分析：利用平方差作差，避免了根式，更加自然简洁，技巧性已不是很强，通过观察等式，学生比较容易想到，对思路的开拓有很大作用。

总之，在曲线与方程这一章节涉及到大量数据处理，教师在课堂上涉及多种方法来处理等式，可以对学生形成潜移默化的影响

问题5：焦点在y轴上的椭圆标准方程如何推导？

不少教师直接通过再来一次推导过程，有重复啰嗦之嫌。其实，这个问题只需引入代换思想，在此进行简单引导，就能够事半功倍。

所以，+=1即为焦点在y轴上的标准方程。

利用多媒体的动态展示，通过数形结合渗透代换思想，实现转化，简化推导过程。代换思想是一种重要的数学思想方法，我们要在每一次教学中抓住每一个机会渗透各种数学思想，比起专门开一个专题来讲要事半功倍得多。

综上问题所述，《椭圆及其标准方程》这节内容概念性较强，教学中存在较多不容易处理的知识点，只有立足从圆出发来全方位探讨椭圆，这样才符合“最近发展区”，学生才能“够一够，抓得住”。

参考文献

[1] 郑新春.再谈椭圆及其标准方程的教学[J].数学通讯，2015（2）：30-33.

[2] 沈金兴.数学文化视角下椭圆标准方程的推导[J].数学通讯，2015（4）：1-3.