高次交错群不可解性的一个证明

郝才攀,刘亚苹

(沈阳工业大学 数学系,辽宁 沈阳 110870)



高次交错群不可解性的一个证明

郝才攀,刘亚苹

(沈阳工业大学 数学系,辽宁 沈阳 110870)

给出了一个关于高次交错群An不可解性的新的证明.此证明过程比其是单群的证明更容易理解.

代数方程;单群;交错群;不可解性

1 问题引入

5次以上的代数方程是否有根式解,或者说是否可以利用代数方法求解,这一著名的问题早在18世纪就由两位年轻的数学家阿贝尔和伽罗瓦彻底解决了,我们现在称解决这一问题的方法为伽罗瓦理论[1]. 所谓方程的伽罗瓦理论是指应用伽罗瓦理论解决多项式的求根问题[2]. 拉格朗日、阿贝尔及伽罗瓦等人利用群的观点解决了方程根式解的存在性问题,即方程存在根式解等价于方程根的置换群是可解群.

研究5次以上代数方程没有根号解的问题通常转化为证明5次以上交错群An不可解,而其不可解性是通过证明其是单群来实现的.本文对于高次交错群An的不可解性给出一个直接证明,此证明比其单性证明更易理解.

2 主要结果

为了方便,我们规定:

设G为有限群,πe(G)表示G的所有元素的阶的集合,有时也称为G的谱.

π(G)表示|G|的所有素因子的集合,|π(G)|表示|G|的所有素因子的个数.

在上述引理1中令m=p1p2(其中α1=α2=1)可得到如下推论.

推论 设An是交错单群,则:

1) 当m=p1p2为奇数时,An含有阶为m=p1p2的元素当且仅当p1+p2≤n;

2) 当m=p1p2为偶数时,An含有阶为m=2p2的元素当且仅当4+p2≤n.

当n≥48时,s(n)=6;

当42≤n≤47时,s(n)=5;

当38≤n≤41时,s(n)=4;

当18≤n≤37时,s(n)=3;

当14≤n≤17时,s(n)=2;

当6≤n≤13时,s(n)=1.

引理3[5]设G是一个有限群,|π(G)|≥3,若存在三个素数r,s,t∈π(G)满足{rs,rt,st}∩πe(G)=Ø,则G是不可解群.

定理 交错群An(n≥5,n≠9,10,12)是不可解群.

p2+p3>n.由引理1的推论知,交错群An(n≥18)不含有阶为p1p2,p1p3,p2p3的元素,再根据引理3可知{p1p2,p1p3,p2p3}∩πe(An)=Ø,故An(n≥18)不可解;

当n=17时,只要取p1=11,p2=13,p3=17,由推论可知An不可解;

当13≤n≤16时,只要取p1=7,p2=11,p3=13,由推论可知An不可解;

当n=11时,只要取p1=5,p2=7,p3=11,由推论可知An不可解;

当n=8时,只要取p1=2,p2=5,p3=7,由推论可知An不可解;

当n=7时,只要取p1=3,p2=5,p3=7,由推论可知An不可解;

当n=5,6时,只要取p1=2,p2=3,p3=5,由推论可知An不可解;

从而定理得证.

[1] 冯丽莉,华 剑,祝青芳.浅析代数方程求解的伽罗华理论[J].数学教学与研究,2009,38:73-74

[2] 张广祥.抽象代数[M].北京:科学出版社,2005

[3] ZAVARNITSIN A,MAZUROV V D.Element orders in coverings of symmetric and alternating[J].Algebra and Logic,1999,38:159-170

[4] KONDRAT’EV A S,MAZUROV V D.Recognition of alternating groups of prime degree from their element orders[J].Siberian Math,2000,41:294-302

[5] LUCIDO M S,MOGHADDAMFAR A R.Groups with complete prime graph connect components[J].Group Theory,2004,7:373-384

A Proof of Insolubility of Alternating Groups of Higher Degrees

HAO Caipan, LIU Yaping

(Department of Mathematics,Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

A new proof of insolubility of alternating groups of higher degrees is given.This proof is easier to understand than the proof of they are simple groups.

algebraic equation;simple group;alternating group;insolubility

2016-04-12

郝才攀(1988-),女,河北邯郸人,沈阳工业大学数学系在读硕士研究生,主要从事群论及其应用研究.

1672-2027(2016)02-0017-02

O152.1

A