Cauchy型奇异非线性方程的高精度数值解法研究

王艳

摘 要：文章从不同角度入手客观分析了Cauchy型奇异非线性方程高精度数值求解，探讨了Cauchy型奇异非线性方程高精度数值数值解法验证和结果，指出在求解Cauchy型奇异非线性方程过程中，将数值逼近函数法应用于其中，可极大地提高方程数值准确率。

一、Cauchy型奇异非线性方程高精度数值求解

（1）Cauchy型奇异非线性方程正规化。在新形势下，由于Cauchy型奇异非线性方程频繁出现在众多领域研究课题中，Cauchy型奇异非线性方程研究的重要性不断显现，但其精确解的获取难度相当大。在利用数值逼近函数方法求解过程中，研究人员先探讨了Cauchy型奇异非线性方程正规化，多层次对奇异方程特殊化算式进行了合理化的关联整合，Cauchy型奇异非线性方程正规化操作顺利实现，合理去除了奇异积分方程具有的积分核奇异性，巧妙利用数值逼近函数方法，求解了Cauchy型奇异非线性方程的高精度数值，所定义的Cauchy型奇异非线性方程为：

Tφ=α（t）φ （t）+—∫— dτ=f（t），t∈L（1）

（2）Cauchy型奇异非线性方程数值具体求解。研究人员结合有限区间特征，合理化描述了第一类Cauchy型奇异非线性方程形式，即

∫φ（t）[— +L（t，x）]dt= f（x）， -1≤x≤1

其中φ（t）的幂级数展开形式为：

φ（t）≈（1-t2）∑αi t i

將上面的Cauchy型奇异非线性方程形式代入其中之后，便可以获取Cauchy型积分解，但精准度不高，存在较大误差，需要根据具体情况，合理调整上面的求解过程。研究人员借助已知的相关定理，巧妙利用数值逼近分析带这一方程，调整之后的Cauchy型奇异积分方程形式为：

∫φ（t）[—]dt= f（x）（α≥3）， -1≤x≤1

在已知的相关定理作用下可获取下面式子：

ft=∑—{ —+—} -—∫[∑∑cjKp（α-1）（xi）Tj（t）tp]— dt，l=0，1，...n

求解其中的cj与K（t，x），由于K（t，x）已知，可以得出Cauchy型奇异积分方程的计算公式，即

φ（t）=（1-t2） ∑cjTj（t），（1≤t≤1）

在一系列计算操作下，可以得出Cauchy型奇异非线性方程解，如下所示：

φ（t）=（1-t2）∑cjTj（t），（-1≤t≤1）

也就是说，在数值逼近函数方法作用下，可以求出具有Cauchy核的奇异积分方程高精度数值解。

二、Cauchy型奇异非线性方程高精度数值数值解法验证和结果

在求解之后，研究人员从不同角度入手进一步验证了数值逼近函数方法是否可以应用到求解Cauchy型奇异非线性方程求解中，获取的数值解是否具有较高的精准度。研究人员进行了相关的仿真试验，Cauchy型奇异非线性方程包含其中，借助计算机软件多样化优势，利用数值逼近方法、边界元方法，分别展开了相关的计算实验。在仿真试验过程中，研究人员发现如果计算的是类型相同的方程，在多次计算之后，数值逼近方法作用下的Cauchy型奇异非线性方程高精度数值解误差都在规定范围内，满足了Cauchy型奇异非线性方程可控误差方面的具体要求。同时，在边界元方法作用下，多次计算之后，研究人员发现Cauchy型奇异非线性方程高精度数值解存在较大误差，无法满足这类方程可控误差方面的具体要求。

总而言之， Cauchy型奇异非线性方程高精度数值求解难度较大，必须根据各方面具体要求，科学利用求解方法，提高方程解精准度。在试验证明中，研究人员发现数值逼近函数方法具有其可行性，可以应用到Cauchy型奇异非线性方程求解中。

参考文献：

[1]蔡志权.求解奇异退化扩散反应方程的高阶紧致差分格式及网格自适应方法[D].银川：宁夏大学，2016.

[2]任冰冰.一类带有奇异核的隐式中立型积分微分方程的数值积分法[D].武汉：华中科技大学，2015.

[3]张 磊.高精度小波数值方法及其在结构非线性分析中的应用[D].兰州：兰州大学，2016.