椭圆中一类三角形面积最值问题再探

陆峥

贵刊文[1]给出了椭圆中三角形面积最大值的两个结论，文[2]又给出了此类问题的一般性结论，读来很受启发.两位老师都用常规的处理三角形面积的方法，比较繁琐，且探究出一般性的结论难度很大.笔者尝试了用伸缩变换的方法将椭圆问题化为圆来解决，运算量大大减少，且得到一般的结论显得很自然，同时发现利用同样的方法，还能较容易地解决其它条件下的三角形面积最值问题，现整理如下，供大家参考.

不妨假设椭圆方程：x2a2+y2b2=1（a>b>0），O为坐标原点，一直线与椭圆交于A、B两点，△AOB（简称椭圆的中心三角形）的面积为S.

1直线过定点的三角形面积最值问题

设直线AB过定点P（m，n）（异于原点），显然不管点P位置如何，中心△AOB面积S均无最小值，下面探究其最大值，采用伸缩变换来处理：

对椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）作伸缩变换x′=xa，

y′=yb，则椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，点P变成P′（ma，nb），椭圆上的A，B点变成圆上的点A′，B′，因为OP′=m2a2+n2b2，所以当OP′≥22，

即m2a2+n2b2≥12，O到A′B′的距离为22时，∠A′OB′=90°，所以（S△A′OB′）max=12，由伸缩变换的性质，S△AOBS△A′OB′=ab，得Smax=ab2.显然此时A、B为椭圆的一对共轭直径的两端点.

当OP′<22，即090°，由S△A′OB′=12OA′OB′sin∠A′OB′=12sin∠A′OB′知，当∠A′OB′最小，即A′B′最小时，S△A′OB′最大，由平面几何知识不难得到，当P′为A′B′中点时（S△A′OB′）max=12A′B′OP′=m2a2+n2b21-m2a2-n2b2，

即有Smax=abm2a2+n2b21-m2a2-n2b2，

此时P为AB中点.

综上探究，有

结论1设过点P（m，n）（异于原点）的直线与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B两点.

当m2a2+n2b2≥12时，A、B为椭圆的一对共轭直径的两端点时Smax=ab2；

当0

Smax=abm2a2+n2b21-m2a2-n2b2.

注在结论1推导过程中，当m2a2+n2b2≥12时，直线A′B′与圆x′2+y′2=12相切时，即直线AB与椭圆x2a2+y2b2=12相切时，Smax=ab2；当0

下面用同样的方法，探究其它两种条件下的中心三角形面积最值问题：

2直线AB方向一定时的三角形面积最值问题

设一倾斜角为θ的直线与椭圆交于A，B两点，显然不管θ如何，中心△AOB面积S均无最小值，下面探究其最大值，仍采用伸缩变换处理：假设直线AB方程为xsinθ-ycosθ+t=0，作伸缩变换x′=xa，

y′=yb，则变换以后椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，椭圆上的A，B点变成圆上的点A′，B′，直线A′B′的方程为ax′sinθ-by′cosθ+t=0，当△A′OB′面积最大时，∠A′OB′=90°，此时O点到直线A′B′的距离为22，于是ta2sin2θ+b2cos2θ=22，

所以t=±a2sin2θ+b2cos2θ2，

所以（S△A′OB′）max=12，从而Smax=ab2.于是有

结论2设倾斜角为θ的直线与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B两点，则当直线方程为xsinθ-ycosθ±a2sin2θ+b2cos2θ2=0时，Smax=ab2.

3弦长一定时的三角形面积最值问题

设椭圆的弦AB长l（0

对椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）作伸缩变换x′=xa，

另外，当中心角∠AOB一定时，S一定既有最大值又有最小值，探究过程过于繁琐，这里不再赘述，有兴趣读者不妨一试.

参考文献

[1]江边.椭圆中两个三角形面积最大问题[J].中学数学杂志，2015（7）.

[2]马现岭.椭圆中一个三角形面积最大问题又探[J].中学数学杂志，2016（3）.