基于小波变换的图像压缩中小波基的评价与选取

甘宸伊，姚 远，杨彦伟，刘小兵，高喆荣

(中国人民解放军63788部队，陕西 渭南 714000)

【信息科学与控制工程】

基于小波变换的图像压缩中小波基的评价与选取

甘宸伊，姚 远，杨彦伟，刘小兵，高喆荣

(中国人民解放军63788部队，陕西 渭南 714000)

针对图像压缩中小波基的选取自由度高的问题，讨论了小波基的选择依据，分析了正交性、对称性、正则性、支撑性和消失矩等性能指标对图像编码的影响。研究了利用均方误差和峰值信噪比对图像品质的评价方法。利用MATLAB仿真，采用SPIHT压缩算法，使用4种小波基对测试图像进行压缩，对比其均方误差、最大误差、峰值信噪比和压缩比，并对实验结果进行了分析，发现具有对称性和紧支撑性，正则性较好的双正交小波综合性能最好，为小波基的选择提供了参考标准。

图像压缩；小波基；双正交；对称性；均方误差；信噪比

随着成像技术的高速发展，图像的数据量越来越大，由于存储空间和网络带宽的限制，对图像进行压缩的需求也越来越大。图像压缩，主要是减少冗余信息，如空间冗余、时间冗余、结构冗余、知识冗余和视觉冗余等[1]。由于人眼视觉特性，在某些领域图像压缩允许有一定程度的失真。近年来，利用小波变换对图像处理的技术越来越受人们的关注，成为数字图像处理及压缩编码的有力工具[2]。小波变换在时域和频域都具有良好的局部化特性，通过改变取样步长，可以聚焦到对象的任何细节，使人们既可以看到‘森林’，又可以看到‘树木’，被称为“数学显微镜”[3]。与傅里叶变换相比，小波变换的基函数不是唯一的[4]，考虑到图像压缩比和压缩后图像的品质，如何选择合适的小波基函数就成为图像压缩的关键环节。

1 小波基的选取

从理论上来讲，由分解后的信号可以准确地恢复到原信号，但并非所有的小波基都适合图像压缩中的图像分解[5]。小波基对应的滤波器的性质与图像压缩有着重要的关系，主要根据以下几个性能指标，如正交性、对称性、正则性、支撑性和消失矩等，这些都是很重要的特征[6]。

1) 正交性：描述了数据的冗余程度，用正交小波基有多尺度分解得到的各子代数据分别落在相互正交的子空间中，使得各子代数据相关性减小[7]。但是能准确重建的、正交的、线性相位、有限冲击响应滤波器组是不存在的[8]，因此可以将条件放宽为双正交，这样设计的自由度增大，而且双正交滤波器有线性相位，因此在图像处理中应用很广[9]。

2) 对称性：在图像处理领域里，一般选择对称或反对称的尺度函数和小波函数，因为具有线性相位，可以构造紧支撑性的正则小波基[10]。人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称的量化误差更不敏感[11]，利用这个特性，在对图像的边缘部分做边界延拓时，能够更精确的重构图像的边缘部分[12]，提高了重构图像的品质。

3) 正则性：函数ψ(t)称为r=N+α(0<α≤N)正则的，如果ψ(t)具有N阶连续导数，且对任意t，h∈R,有|ψN(t+h)-ψN(t)|

正则性是函数光滑程度的一种描述，正则性阶数r越大，函数就越光滑。小波和尺度函数的正则性阶数越高，滤波器的正则性也越好[13]。光滑信号在经过正则性很差的分解滤波器后，其输出随着小波变换级数的增加将很快出现不连续性，而不连续性将导致高频子带中系数的增多，从而不利于压缩和量化。同样，如果重构滤波器的正则性很差，量化带来的误差在重构时就不能很好地被平滑掉，那么重建图像误差可视性就强，视觉效果就差。因此正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉效果。但是由于正则性越好支撑长度越长，会导致计算时间加大，因此要有所权衡。

4) 支撑性：一般说来，小波正则性越好，消失矩越大，小波的支集宽度越大，对应的滤波器就越长，会导致高幅高频系数的数量相应增多，所以正则性好、消失矩大的滤波器也可能会引起高幅高频系数的增多[8]。同时滤波器过长会引起算法复杂度，边界失真加剧。另外滤波器的长度会影响对信号所能进行的最大分解层数。因此在选择小波基时，希望滤波器是有限长度，即小波具有紧支撑性[9]。

2 图像品质评价

图像品质评价分为主观评价和客观评价。图像的主观评价就是以人作为图像的观察者，对图像的优劣作出的主观评定。这时，所评价出的图像品质不仅与图像本身的特性有关，而且还与观察者特性以及观察条件有关。图像品质的客观评价方法是根据人眼的主观视觉系统建立数学模型，并通过具体的公式计算图像的品质。传统的图像品质客观评价方法主要包括均方误差和峰值信噪比。

1) 均方误差

2) 峰值信噪比

3) 压缩比

3 实验结果

使用Matlab提供的cameraman.tif(256×256)和liftingbody.png(512×512)图像，分别选用Haar小波，Daubechies小波，Biorthogonal小波和Symlet小波对其进行3次分解，采用SPIHT压缩算法，对其进行10级编码，计算压缩后图像与原图像的均方误差，最大误差，峰值信噪比和压缩比。这4种小波的性能参数如表1所示。压缩后图像品质如表2所示。

表1 haar,db,bior和sym小波性能参数

表2 4种小波基压缩图像品质对比

4 结果分析

1) 小波基的对称性

对于线性相位的小波基，通过周期性延拓，重建信号在边界不会产生较大失真，而对于非线性相位小波，边界数据失真则比较明显。紧支集小波的线性相位特征与小波的对称性等价。因此使用对称小波进行小波变换可以克服图像在小波变换中产生的边界失真，可以看到小波基的对称性对图像的压缩性能影响较大。当小波基不具有对称性时(db4和sym4)，严重的边界失真会导致明显较差的图像压缩结果。

2) 小波基的正则性

显然，小波基正则性的阶数反映了小波的光滑程度。小波基的正则性越高，其尺度函数越光滑，频域的能量越集中。如表2所示，可以看到，小波的正则性在一定程度上决定了小波基的压缩性能。对于大部分图像，小波的正则性越高，小波基的压缩性能越好。例如，db4小波，bior4.4小波和sym4小波具有较高正则性，对于几乎所有的自然图像、科学图像，它们都达到或接近了最优的压缩结果。同时可以发现，压缩后图像的光滑程度也和小波基的正则性相关，正则性高的小波压缩后的图像要比正则性低的小波光滑。Harr小波的正则性为0，压缩图像有较大跳跃，视觉效果较差。

5 结束语

在图像的压缩编码中，小波基的选择对图像的压缩性能有一定影响。小波基的选择评估是一个重要的问题。不同的应用环境中小波基选取的自由度是很大的，图像编码时要综合考虑这些特性，尽量选择支撑性好、消失矩大、正则性好的双正交小波。bior4.4小波是双正交小波，具有对称性和紧支撑性，正则性较好，经过对比实验，也证实了bior4.4小波综合性能最好，工程应用中，可以优先考虑此小波。但是由于小波的选择与图像特性相关，不存在对任何图像都能实现最佳压缩效果的“最优”小波，只能根据具体的应用要求合理选择小波基，因此研究如何根据图像的特征来自适应的构造适合本图像的最优波基具有重要的意义，在这方面，还需要做进一步的工作。

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(责任编辑杨继森)

Wavelet Evaluation and Selection in Wavelet-Based Image Compression

GAN Chen-yi, YAO Yuan, YANG Yan-wei，LIU Xiao-bing, GAO Zhe-rong

(The No. 63788thTroop of PLA, Weinan 714000, China)

Wavelet basis selection was discussed due to its high degree of freedom in image compression. The influence of orthogonality, symmetry, regularity, support and vanishing moments in image coding was analyzed. The method of image quality assessment using mean square error and peak signal to noise ratio was illustrated. Test images were compressed using four different wavelet basis through MATLAB, and mean square error, max error, peak signal to noise ratio and compress ratio were compared respectively. The conclusion is that wavelet basis which are symmetric, tight supported, good regularity and biorthogonal have the best comprehensive performance, which provides reference standard for the choice of wavelet basis.

image compression; wavelet basis; biorthogonal; symmetric; mean square error; peak signal to noise ratio

2016-07-25；

国家自然科学基金项目(F010401);江苏省教育厅自然科学基全资助项目(00SJB51000)

甘宸伊(1985—)，男，硕士，工程师，主要从事数字图像处理研究。

10.11809/scbgxb2016.12.024

甘宸伊，姚远，杨彦伟，等.基于小波变换的图像压缩中小波基的评价与选取[J].兵器装备工程学报，2016(12):105-107.

format:GAN Chen-yi, YAO Yuan, YANG Yan-wei，et al.Wavelet Evaluation and Selection in Wavelet-Based Image Compression[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(12):105-107.

TP751

A

2096-2304(2016)12-0105-04

修回日期：2016-08-30