“探究”再探究，“思考”再思考

张萍

[摘 要] 以课程标准为基准，以教科书为参照，以教学对象（学生）为依据的原则，并以“学生最大发展”为旨归，根据学习任务，为了实现学习效益的最大化，对教科书的“探究”和“思考”栏目进行改进或“创造性”的再建构，可以把学生带到“最近发展区”，促使学生在自主探究中建构、完善认知结构，为实现学生的最大发展提供平台.

[关键词] 学习起点；数学现实；自主探究；自主建构

人教版《义务教育教科书·数学》是根据《义务教育数学课程标准》（2011版）编写的，正文中设置了大量的“探究”和“思考”栏目，“探究”和“思考”栏目以问题、留白或填空等形式引导学生通过观察、分析、猜想、推理、反思、交流等活动获取数学基础知识和基本技能，逐步感悟数学思想，积累数学活动经验. 由于教科书是针对全国学生开发的，并不针对某一地区、某一学校，更不能兼顾地域差异和学生的个性差异，所以我们在教学中不能照本宣科，不能教教材，而应该创造性地使用教材，即“用教材教”（对“学材”进行适当再建构），使貌似十分有限的教学资源得以激活、放大，从而扩展学生的学习时空，拓展学生的活动范围，为学生的最大发展提供可能.

立足学习起点，改进“学材”

教科书的“探究”和“思考”栏目实际上是帮助学生进行“自主探究”的学习方式，其实质是将科学领域的探究引入课堂，使学生通过类似科学家的探究过程理解科学概念和科学探究的本质，并培养科学探究能力的一种特殊的学习方法（柴西琴）. 但在实际教学中，其往往脱离学生实际，或高于或低于学生的学习起点. 因此，根据学生实际对教科书中的“探究”和“思考”稍加改进，不仅可以使学生拾级而上，而且有利于学生真正地“探究”性学习.

案例1 “相交线（一）”（人教版《义务教育教科书·数学七年级（下）》）（以下简称“×年级上或下册”）

教科书通过“探究”，要求学生任意画出两条相交的直线并观察四个角的位置. 在实际教学中，学生很难说出四个角的两两位置关系. 为了让学生充分经历知识的“发生、发展”过程，并培养、提高学生的识图、推理能力，可将“探究”改进如下：

1. 自主回顾

如图1，已知直线AB. 请读句画图：（1）在直线AB上任意取一点O；（2）画射线OC，写出图中的角；（3）画射线OC的反向延长线OD，写出图中所有的角. 追问：如何用适当的语言描述你画出来的整个图形？（图2）

2. 建构概念

观察：两直线相交，形成4个角（如图2），即∠1，∠2，∠3，∠4.

思考：（1）此四个角有何共同特征？（2）每两个角的边有什么特征？如∠1和∠2、∠1和∠3. （在学生观察、思考、探究、猜想、表达的基础上，得到邻补角、对顶角的概念，以及互为邻补角的两个角互为补角）

通过读句画图和用适当的语言描述图形，巩固已学内容，强化了学生对数学的三种语言互译能力；同时引出课题，突出了邻补角和对顶角的本质，为学生自主建构邻补角和对顶角的概念作好铺垫. 邻补角和对顶角作为描述性概念，属于解释性理解水平. 为此，在概念教学中，当以“形”取“意”，即从知识的本质（两直线相交）出发，找到两种角的顶点和边的位置关系，从而突出“邻补角和对顶角”的本质特征，为以后研究“三线八角”提供方法和经验，发展学生的自主学习能力.

案例2 “二次根式（一）”（八年级下册）

探究二次根式时，教科书设置了一些特殊的例子，让学生归纳出一般的结论. 为了让学生进行主体性研究学习活动，即让学生在学习参与中，在能动的实践活动中，自己探索并逐步完善认知结构，可将课堂“探究”改进如下.

1. 性质1的探究

思考：当a≥0时，是什么数？是正数、0，还是负数？为什么？

2. 性质2的探究

思考：（1）（）2，（）2，（）2，（）2，

2的值分别是多少？（2）你是如何得到（）2=2的？（3）根据这些特殊的例子，你能得到怎样的一般结论？（在学生归纳性质后，引导学生用算术平方根的意义来分析、说明该性质）

3. 性质3的探究

猜想等于多少. （除个别学生说“=a”外，大多数学生都说“=a”）

追问：如何验证你的猜想？（引导学生自主举例分析说明、验证归纳性质=a=a （a≥0），

-a （a<0）. 在学生归纳性质后，引导学生用算术平方根的意义自主分析说明该性质）

4. 性质2、性质3的辨析

思考：与（）2有何异同点？（引导学生从表示的意义、字母的取值范围、结果等方面进行比较）

二次根式的性质是在算术平方根的概念基础上，由特殊到一般生成的. 以三种不同的呈现方式，引导学生在多重交往互动中自主探究二次根式的三个性质，这样便加大了学生的探索空间，体现了由特殊到一般的认识过程，这样的探究活动发展了学生的思维能力，有效地改变了学生的学习方式，有利于掌握认识事物的一般规律，有利于学生感悟数学思想，积累数学活动经验，能增强学生积极主动的参与性，让学生自主探索并逐步完善认知结构. 在“性质3”的教学中，没有仿照“性质1和性质2”的教学方法，而是先让学生“猜想等于多少”，当学生出现不同意见时，教师没有给出答案，而是引导学生自主举例，分析说明并验证、归纳性质3，整个过程充分尊重和关注学生的认知起点，把学生带到“最近发展区”，促使学生在自主探究中建构、完善认知结构.

案例3 “平方根（1）”（七年级下册）

教科书利用实际问题“已知正方形的面积，求正方形的边长”引入算术平方根的概念. 在实际教学中发现，学生能记住一些自然数的平方，但是还存在几个层次的学生：（1）能记住10以内各自然数的平方；（2）能记住20以内各自然数的平方；（3）能由一个数的平方求出这个数. 另外，学生已具有一定的逆向思维意识和经验，但是绝大多数学生的逆向思维意识和经验不足. 充分考虑到学生的实际，为了让学生①经历算术平方根概念的探索过程，体验算术平方根的价值；②了解算术平方根的概念，会用符号表示算术平方根，建立初步的数感和符号感；③理解算术平方根与平方运算的联系，会求算术平方根，发展逆向思维能力. 即注重交流的学习方式，关注过程，建立数感和符号感. 可将算术平方根概念的引入改进如下：

1. 旧知呈现，问题诱思

（1）抢答：122=______；1.52=______；（-6）2=______；0.052=______；（ ）2=81.

（2）由正方形的面积S求边长a（填表）：

[正方形的面积S＼&4＼&9＼&16＼&25＼&29＼&正方形的边长a＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

（引导学生揭示本题的实质：已知一个正数的平方，求这个正数，与求一个数的平方的过程正好相反）

2. 任务驱动，互动探究

（1）面积为29的正方形的边长是什么数？是整数吗？是分数吗？有没有哪个整数的平方是29？有没有哪个分数的平方是29？

（2）虽然我们还不知道面积为29的正方形的边长是多少，但是该正方形的边长一定是正数，而且它的平方是29，那么我们把这个正数叫作29的算术平方根.

又如：因为52=25，所以25的算术平方根是5.

你能用自己的语言说说什么叫作算术平方根吗？概念中的关键词是什么？你还能举出一些例子来说明什么是算术平方根吗？如何用符号表示一个数的算术平方根？（引导学生总结并完善定义、符号表示及其读法）

对于“算术平方根”的学习，因知道不同学生对“一些自然数的平方”的理解层次和“绝大多数学生的逆向思维经验不足”，就决定了我们在“旧知呈现，问题诱思”中，安排了一组练习，目的在于让学生通过“正过来用”“反过来用”有所回忆，这些努力都是基于“最近发展区”的理解，为学生进一步学习新知“充分热身”而服务. 通过“面积为29的正方形的边长是什么数”激发学生的求知欲；为帮助学生理解概念，抓住概念的本质，通过让学生说出“概念中的关键词是什么”和“举例说明什么是算术平方根”等引导学生巩固、深化概念. 这些都是从学生的学习起点出发，由浅入深、逐渐升华，符合学生的认知规律，是有利于促进学生自主建构的一种尝试.

关注已有知识经验，重构“学材”

教科书的“探究”和“思考”栏目都是义务教育阶段所有学生必须达到的基本要求. 但是考虑到学生已有的知识经验，若按照实施，势必造成“教”落后于“学”. 根据“以课程标准为基准，以教科书为参照，以教学对象（学生）为依据”的原则，并以“学生最大发展”为旨归，根据学习任务，为了实现学习效益的最大化，对教科书的“探究”和“思考”栏目进行“创造性”再建构，可以为实现学生的最大发展提供平台.

案例4 “二次根式（一）”（八年级下册）

教科书通过“思考”栏目中的具体例子（列式并找共同点）引入二次根式的概念，让学生经历了从特殊到一般的学习过程. 但是考虑到学生已有知识经验及“二次根式实质就是非负数的算术平方根”，为此将此“思考”栏目重构为“在复习回顾中，引导学生由算术平方根的意义自主建构二次根式的概念”，具体如下.

1. 自主回顾

（1）4，16，（-4）2，0，-64，2，a的平方根和算术平方根分别是多少？（2）哪些数有平方根、算术平方根？负数为什么没有平方根、算术平方根？

2. 建构概念

（1），，，等都表示一个非负数的算术平方根，像这些带根号的算术平方根，我们就把它叫作二次根式. （2）根据这些式子的特征，如何定义二次根式？（如何用字母表示？）

归纳：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式，“”称为二次根号. （在学生描述二次根式定义的基础上，引导学生总结二次根式应具有两个条件，即有二次根号“”；被开方数a是正数或0）

根据两个新旧知识之间的逻辑联系（二次根式实质就是非负数的算术平方根，即二次根式就是带根号的算术平方根），由学生已有知识“算术平方根”拓展新知识“二次根式”，合乎逻辑的发展结果，是在学生“原有基础”上的“自主建构”，符合学生的认知规律，有利于学生理清知识之间的联系，便于学生从整体上架构知识体系.

案例5 “反比例函数的意义”（九年级下册）

在学习反比例函数前，学生已经学习了一次函数、二次函数，而且每次学习函数，都是通过观察具体实例中的函数式子的共同点来归纳函数概念. 考虑到对于学习函数已有一定知识、技能和方法的学生而言，通过逻辑推理的方法由旧知迁移到新知，有利于发展学生的迁移能力和掌握类比的学习方法，有利于学生智慧的提升，为此，将此“思考”栏目重构为“在回顾复习中，自主建构反比例函数的概念”，具体如下.

问题：汽车在由A地匀速开往B地的过程中（两地相距400 km）.

（1）在这个变化过程中，常量和变量分别是什么？

（2）v是t的函数吗？为什么？（追问：t是v的函数吗？为什么？）

（3）可用怎样的函数解析式表示v和t之间的关系？

（4）v是t的什么函数？为什么？

（5）根据前面学习正比例函数的经验，谈谈怎样学习反比例函数，可以从学习内容、过程、方法等多个角度谈谈你的看法.

（6）如何定义反比例函数？反比例函数的一般式是怎样的？

借助具体的情境回顾变量、函数等概念很有必要，一方面为反比例函数的学习做好铺垫，有利于学生能够较顺利地接受反比例函数的概念等相关内容；另一方面，可以反过来进一步深化对函数内涵的理解和掌握. 在“正比例函数”的学习中，学生对函数的研究内容、过程和方法有了一定的基础，因此学习“反比例函数”时，学生已经有了知识、方法和经验的基础，对“成反比例关系的两个变量是反比例函数关系”有所感知，对“用一般式对反比例函数进行定义”有所体验，在此基础上，直接引导学生自觉地正向迁移，进行反比例函数定义的教学是完全有条件的. 因此，在教学中，通过类比、迁移，能比较自然地呈现反比例函数. 这种在学生原有基础之上提炼、归纳得到的知识是牢固深刻的，也是在学生“原有基础”上的“自主建构”，符合学生的认知规律.

案例6 “平行四边形的性质（1）”（八年级下册）

教科书“探究”栏目中，通过让学生经历猜想、度量和证明等过程，探究平行四边形的性质，关注学生实践和体验. 但是考虑到学生已有知识经验和“数学现实”，为此将此“探究”栏目重构如下.

问题：（1）图3分别是什么图形？两个图形有什么联系和区别？你已经知道平行四边形的哪些内容？

（2）根据我们以往的学习经验，你认为如何学习平行四边形？可以从知识、方法、过程等角度来说明.

（3）平行四边形是特殊的四边形，它具有一般四边形的一切性质，那么，它有哪些特殊的性质呢？如何研究平行四边形的特殊性质呢？（引导学生：①类比四边形的研究方法，通过作平行四边形的对角线来研究平行四边形的特殊性质；②抓住平行四边形“两组对边分别平行”这个条件来研究平行四边形的特殊性质）

（4）分别作一般四边形和平行四边形的对角线，一般四边形转化为两个三角形（如图4），它们的形状、大小有没有特殊的关系？平行四边形转化为两个三角形呢？由此可得到平行四边形的哪些特殊性质呢？

（5）按照要求在小组内交流：①你得到的结论有哪些？②说明你是怎么思考的？③还有什么方法证明这些结论？④证明关键是什么？根据什么？

（6）如何用符号语言表示这些性质？

（7）如果连接两条对角线呢？

通过对比“一般四边形”与“平行四边形”的联系和区别，为知识、方法的迁移打下伏笔. 通过问题“你已经知道平行四边形的哪些内容”，便于从学生“数学现实”出发，即，使得教学从学生实际出发，更有针对性；同时为学生对平行四边形的感性认识上升到理性认识做好准备（通过逻辑推理的方法证明有关结论）. 通过类比和对比，平行四边形的性质自然而然呈现出来. 通过类比，使得学生的研究有内容、有方向，更有方法，迁移能力、数学思考得到发展. 通过对比，不仅能让学生从“一般”中得到“特殊”，而且使得学生自主、合作、交流、表达与聆听等能力得到充分发展（尤其是自主学习的能力）. 同时，在学生通过独立思考、与人交流等获取数学知识、基本技能、研究和解决问题的策略、方式方法的过程中，生动地体验数学活动充满的探索与创造活力，并获得成功的喜悦，激励自主探究、合作学习的积极主动性，发展学力. 通过问题“你得到的结论有哪些？说明你是怎么思考的”，使学生对平行四边形的认识从感性认识上升到理性认识（从不规范推理到规范推理，从合情推理到逻辑推理）；同时让学生用不同的思路和方法证明同一个结论，可以激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.

在对教科书“探究”和“思考”栏目进行改进和创新实践中，教师必须根据学生群体和个体的实际情况，在对“学材”进行适当的增删、调整、强化或弱化处理等过程中，融入自己的思想、见解、主张和思维方法，力求突出重点，化解难点，使深奥的知识、抽象的思维方法、复杂的解题思路浅显化、具体化、简单化，易于学生接受，从而不断激活学生的创造力，完善良好的精神品格，同时以此促进教师对自己的数学教育进行认真的反思和理论提升，以促进教师的专业发展.