一类具有三个不同共形主曲率的类空超曲面

聂昌雄,范植兴

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

一类具有三个不同共形主曲率的类空超曲面

聂昌雄,范植兴

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

若类空等参超曲面有平行的共形的第二基本形式, 则有2个或3个共形主曲率[11].笔者论证3个不同主曲率在重数一致的情形下, 具有平行的共形的第二基本形式, 并在共形等价下对这类超曲面作分类.

Lorentz空间形式；共形等参超曲面；共形主曲率；共形不变量

0 引言

设α=(x1,…,xn),β=(y1,…,yn)∈Rn. 在Rn上定义Lorentz度量g=<,>s, 则

笔者给出了3个共形主曲率重数一致的情形, 但对其重数不一致还有待讨论. 主要结果如下:

(u1,u2,t,u3)|→(tu1,tu2,u3).

1 共形几何

其中ξ⊥span{Y,N,Y1,…,Yn}且<ξ,ξ>=-1. 我们假定1≤i,j,k,l,t≤n. 结构方程为

Aijk-Aikj=BijCk-BikCj

Bijk-Bikj=δijCk-δikCj

(1)

(2)

Rijkl=(δikAjl-δilAjk)+(Aikδjl-Ailδjk)-(BikBjl-BilBjk)

(3)

此外,还满足以下基本关系

(4)

(5)

由上式可知{A,φ}可由{B,g}确定, 从而有

1.2 Lorentz空间形式中的共形不变量 考察以下3种嵌入：

由于σ0,σ+1,σ-1是共形映射, 因此Lorentz空间形式中的类空超曲面也是共形空间中的类空超曲面.

由子流形理论可知

△u=n(Hen+1-εu),ρ=n(n-1)ε+S-n2H2

(6)

(7)

下面给出上述共形不变量与平均曲率的关系:

(8)

(9)

例子 对b>a>0,b2-a2=1. 扭积嵌入

I==t2du1⊗du1+t2du2⊗du2+dt⊗dt+du3⊗du3.

选取幺正标架{e1,…,en}, 在这组基下有

Ci=0, (Aij)=(λ1Im)⊕(λ2Im)⊕(λ3Im), (Bij)=(η1Im)⊕(η2Im)⊕(η3Im),

2 一类共形等参超曲面的分类

B:=(Bij)=(b1Im)⊕(b2Im)⊕(b3Im)

(10)

方便起见, 我们给定下指标范围

1≤a,b≤m;m+1≤p,q≤2m; 2m+1≤α,β≤n; 1≤i,j,k,l≤n.

由(2)式可知AB=BA, 结合(10)式可知A必定为对角阵, 不妨设

A:=(Aij)=diag(aaIm)⊕diag(apIm)⊕diag(aαIm).

下面考虑B的共变微分:

即Babi=0. 同理可证Bpqi=Bαβi=0, 而由(1)可知Babc=Bbac=Bbca, 即Bijk中i,j,k互换位置不改变大小, 从而集合{Bijk|i≤j≤k}中非零元必定形如Bapα. 故

(11)

同理可证

(12)

(13)

其中内积运算是欧氏空间标准内积.

(14)

(11)式两边同时微分得

(15)

3) 当p=q且α=β时, 由(3)式得Rpαqβ=ap+aα-b2b3, 因此

(16)

(17)

(18)

(19)

注 每行(或列)所有元素都相互正交；经过换行换列变换结论依然成立.

引理2.2 如上定义, 若矩阵L存在零元, 则DB=0.

其中E,F中元素两两正交. 由于L1中所有元素都是m维的, 而首行首列非零元素有(m-i)+(m-j)个, 因此(m-i)+(m-j)≤m.从而i+j+1≥m+1, 以下对首行零元素个数j进行讨论：

a) 若j=m, 则L中的首行全为零元.

而la1,…,laj,l1b,…,lib,lab(a>i,b>j)两两正交, 从而{la1,…,laj}中必定存在零元, 而其模长一致, 因此la1=…=laj=0, 从而前j列全为零, 必定有首列全为零元.

上式两边同时乘以Bapα可得

对上式a,p,α求和可得

1) 先证矩阵L1中的每行或每列各元素模长相等. 记k∈{2,…,m}, 定义m-1个线性变换Tk:

Tk(v1,…,vm):=(Tkv1,…,Tkvm)=(lk1,…,lkm),

则

==0(i≠j)

(20)

=0,+=0,i≠j,

(21)

+=0,∀u,v∈Rm.

令u=vj,v=Tkvi,可得

(22)

引理2.5的证明 若DB≠0, 由引理2.4得

(Aij)=(a1Im)⊕(a2Im)⊕(a3Im).

由(12)式可得Bapα=(b1-b3)ωaα(ep)=(b1-b2)ωap(eα), 同理可得

Aapα=(a1-a3)ωaα(ep)=(a1-a2)ωap(eα),

考虑超曲面u:M→Ln+1(ε), 不妨设(hij)=(q1Im1)⊕…⊕(qγImγ),i∈[r],j∈[s],k∈[t], 则

若γ≥3, 调整基次序, 可使得q1<…≤qγ-10. 从而

ε-q1qγ≤0≤ε-qγ-1qγ,

此即qγ-1≤q1, 矛盾. 因此γ≤2, 这与h具有3个重数相同的常主曲率矛盾. 从而DB=0.

下证主要定理：

[1] Wang C P. Moebius geometry of submanifolds inSn[J]. Manuscripta Mathematica,1998,96(4)：517-534.

[2] Li H Z,Liu H L,Wang C P,et al. Möbius isoparametric hypersurfaces inSn+1with two distinct principal curvatures [J]. Acta Mathematica Sinica,2002,18(3)：437-446.

[3] Li X X,Peng Y J. Classification of the Blaschke isoparametric hypersurfaces with three distinct Blaschke eigenvalues [J]. Results in Mathematics,2010,58(1/2)：145-172.

[4] Li X X,Zhang F Y. On the Blaschke isoparametric hypersurfaces in the unit sphere[J]. Acta Mathematica Sinica,English Series, 2009,25(4)：657-678.

[5] Li X X,Zhang F Y. A classification of immersed hypersurfaces in spheres with parallel Blaschke tensors [J]. Tohoku Mathematical Journal,Second Series,2006,58(4)：581-597.

[6] Li X X,Zhang F Y. Immersed hypersurfaces in the unit sphereSm+1with constant Blaschke eigenvalues [J]. Acta Mathematica Sinica,English Series,2007,23(3)：533-548.

[8] Nie C X,Wu C X. Classification of type I time-like hyperspaces with parallel conformal second fundamental forms in the conformal space[J]. Acta Math Sinica,2011,54(1)：685-692.

[9] Nie C X,Li T Z,He Y J,et al. Conformal isoparametric hypersurfaces with two distinct conformal principal curvatures in conformal space [J]. Science China Mathematics,2010,53(4)：953-965.

[11] 聂昌雄,吴传喜. 共形空间中平行的共形第二基本形式的类空超曲面[J]. 数学学报,2008,51：685-692.

(责任编辑 赵燕)

Space-like hypersurfaces with three distinct conformal principal curvatures

NIE Changxiong, FAN Zhixing

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University，Wuhan 430062, China)

If space-like isoparametric hypersurface with parallel second fundamental form of conformal,there are two or three conformal principal curvatures[11]. If space-like isoparametric hypersurface has three distinct conformal principal curvatures of the same multiplicity, then it must be of non-parallel second fundamental form, and made a classification of this class of hypersurface under the conformal equivalence.

the Lorentz space form; conformal isoparametric hypersurface; conformal principal curvature; conformal invariant

2016-04-27

聂昌雄(1974-), 男, 博士，副教授; 范植兴, 通信作者，硕士生, E-mail：810157153@qq.com

1000-2375(2017)01-0093-07

O186.12

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.01.018