一类三阶三点边值问题正解的存在性

程德胜, 武晨

(江苏联合职业技术学院南京分院 基础课程教学部, 南京 江苏 210019)

一类三阶三点边值问题正解的存在性

程德胜, 武晨

(江苏联合职业技术学院南京分院 基础课程教学部, 南京 江苏 210019)

考虑一类三阶三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ, 其中，0<η<1,0<α<1/η,λ>0,f满足超线性或者次线性条件，利用锥上的不动点定理，得到上述边值问题解的存在性结果.结果表明：文中方法进一步改进和推广了吴红萍的结果. 关键词： 三阶三点边值问题; 锥; 格林函数; 不动点定理

三阶微分方程边值问题是研究奇数阶边值问题的基础,由于其广泛的物理背景和现实意义，三阶边值问题引起了许多学者的关注，并且取得了较多成果[1-10]. 吴红萍[2]考虑了三阶三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ.其中：0<η<1；0<α<1/η；λ>0.通过应用Leggett-Wilmlias不动点定理得到上述边值问题有3个正解的存在性.但作者仅考虑在上述条件下解的存在性，并没有考虑到当f满足超线性或次线性条件下,上述边值问题的解是否存在.本文研究一类三阶三点边值问题,即

1 一些引理及定义

引理2[3]边值问题 u‴(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0,1)，u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ,有唯一解，即

(2)

引理4[3]对任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]，有0≤G1(t,s)≤s(1-s).

(3)

由引理3可得

则有

(4)

当t∈[τ,1]时，由引理3和式(4),有

2 主要结果

定理1 假设f0=0，且f∞=∞(超线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.

证明 因为f0=0，所以存在R1>0，使0≤u≤R1时，有f(u)≤εu,t2≤ε‖u‖成立.其中，ε为大于0的常数，且满足

(5)

当u∈K,‖u‖=R1时，由引理3和式(5)，有

(6)

令Ω1={u∈E：‖u‖

另一方面，由f∞=∞可知，存在R2>R1，使u≥τ2R2时，有f(u)≥ρu成立.其中，ρ>0，且满足

(7)

令Ω2={u∈E：‖u‖

定理2 假设f0=∞，且f∞=0(次线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.

证明 因为f0=∞，则存在R3>0，使0≤u≤R3时，有f(u)≥δu成立.其中，δ>0，且满足

(8)

当u∈K,‖u‖=R3时，由式(8)可得

令Ω3={u……