基于Hankel行列式的一类双和恒等式

宋旭霞

（呼伦贝尔学院数学统计学院 内蒙古 海拉尔 021008）

关于孤子理论中的双线性方程的研究，国际上一直非常活跃.尤其在双线性方程的群射 Lie代数的问题研究上，更为积极。事实上，应用群论的方法已经发现了许多新的孤子方程，但是这种方法需要比较高深的代数知识，应用起来也比较困难，而方程的求解过程与Hankel行列式的性质密切相关。为此，本文在已获得的Hankel行列式的双和恒等式的基础之上，研究Hankel行列式的双和恒等式的推广形式。

1.基础知识

1.1 如果行列式满足则称之为 Hankel行列式。显然，Hankel行列式满足 aij= aji的条件，因此 Hankel行列式是对称的，同时也满足条件所以它也是次对称的。

一般情况下，我们采用单后缀的方式来表示元素，令则有

1.2 若函数满足关系式则称函数关于其变量是s次齐次的；若函数满足关系式则称函数关于其变量的下标之和是s次齐次的。

1.4 已有性质

引理1[]]：关于Hankel行列式的凝聚余子式满足以下关系式：

引理2[1]：关于Hankel行列式有下列双和恒等式成立：

引理3[1]：欧拉定理：

（1）如果变量是相互独立的，函数对每一个变量都是可微的，且对于变量是s次齐次的，则有

2.预备定理

Hankel行列式因其形式简洁美观、应用广泛而著称，在Hankel行列式性质研究的过程中，为了将已有Hankel行列式的双和性质顺利推广，作为基础，我们需要先行证明下列引理。

引理4：对于 Hankel行列式满足下列齐次性的而相关结论：

（1）的展开式中的每一项都是n次齐次的；的展开式中的每一项的下标之和都是 n ( n - 1 )次齐次的。……