谈解题教学中数学文化的培养
——以“变中有不变”为例

内蒙古师范大学附属中学 王洪军 (邮编:010020)

教 学参 考

谈解题教学中数学文化的培养
——以“变中有不变”为例

内蒙古师范大学附属中学 王洪军 (邮编:010020)

“数学文化”是近年来应用频率较高的词汇,教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》(实验)中有较大篇幅谈到数学文化,可见其重视程度．然而很多一线教师认为高考试卷中出现与数学史有关的题目才是考查数学文化的,其实不然．南开大学顾沛教授在《数学文化》一书中指出:“数学文化”一词的内涵,简单说,是指数学的思想、精神、方法和观点,以及它们的形成与发展;广泛些说,除上述内涵外,还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的联系,等等．因此,在高中阶段普及数学文化的宗旨,是提高学生的数学素养,让他们学会数学地思考问题．解题教学在中学数学课型中占据重要的地位,也格外受到教师和学生的重视,笔者认为,教师在解题教学中引导学生理解并感受数学文化非常有必要,本文以“变中有不变”为例进行一些探讨,以期与各位同行交流．

1 “变中有不变”的文化内涵

世间万物都在不断的变化之中,变化是绝对的,静止是相对的,在这种运动和变化中,事物的大多数性质也会随之改变,但有些性质却是相对稳定,并不改变,这就是“变中有不变”．只有相对静止不变的对象,我们才能把握,数学学科就是要在数量变化中寻求其中的不变因素．我们知道文化内涵是文化的载体所反映出的人类精神和思想方面的内容,以“变中有不变”为载体,在纷繁变化的数学海洋中把握变化中的不变性,就更能感受数学之美,显示数学智慧之光,也能更好地体现其文化内涵．“雕栏玉砌应犹在,只是朱颜改”略能反映这种意境．

数学内容中“变中有不变”的例子不胜枚举,比如,圆的大小是千变万化的,圆的周长与直径也随之改变,但是无论怎样变化,圆的周长与直径的比值是不变的,这种“变中有不变”的性质(即圆周率)揭示了圆的本质．直角三角形的大小是千变万化的,它的直角边与斜边也随之改变,但是无论怎样变化,斜边的平方都等于两条直角边的平方和．直角三角形中的这种“变中有不变”的性质就是我们熟知的“勾股定理”．

数学中的概念、性质、法则、数量关系式等等,其来源和应用都蕴含“变中有不变”的思想,在解题教学中,我们也可以引导学生发现问题中“变中有不变”的性质,让学生体会这种数学地思考问题的方法,领悟数学的魅力．下面用几个例习题来作进一步的阐述．

2 从例习题中感受“变中有不变”

例1设M、N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上异于M、N的一点,直线PM、PN的斜率分别为k1,k2,则k1·k2＝______．

例题中的直线PM,PN是变化的,相应的斜率k1、k2也随之改变,但无论怎样变化,斜率之积是不变量．这启发笔者考虑更一般的情况:

解析:设点M(x0,y0),则N(－x0,－y0),设椭圆上点Px,y( )．

在解题教学中,通过引导学生发现典型问题中所蕴含的不变关系,在发展其思维能力的同时,也能使其深刻地理解问题的本质,还能发现很多有用的性质,上例中所得到的一般结论在很多问题中都能发挥重要作用．

例2已知函数fx()是定义域为R的奇函数,对于,则不等式f(x－1)＜x2(3－2lnx)＋3(1－2x)的解集为______．

解析由题意可知,符合题中条件的函数f(x)有很多,但不管函数形式怎么改变,所考查不等式的解集是不变的．不妨令f(x)＝0,易知它是符合条件的,因此,所考查的不等式变为x2(3－2lnx)＋3(1－2x)＞0．

令g(x)＝x2(3－2lnx)＋3(1－2x),可得g′(x)＝4x－4xlnx－6,容易得到,当x＞0时,xlnx≥x－1,当且仅当x＝1时等号成立．故g′(x)≤4x－4(x－1)－6＝－2＜0,函数g(x)在 (0 ,＋∞)上单调递减,注意到g(1)＝0,因此,不等式x2(3－2lnx)＋3(1－2x)＞0的解集为 (0,1)．

通过考查例题中的“变中有不变”,可以选择从特殊情况入手,进而使得复杂的问题得以解决．其实更重要的一点是,无论函数fx()怎么改变,处理问题的方法也是不变的,这启发笔者得到下面更一般的解答．

例3已知a、b、c分别为 △ABC的角A、B、C的对边,a＝2,且 2＋b( )sinA－sinB(

)＝c(－b)sinC,则 △ABC面积的最大值为_________．

解析由已知条件结合正

数学中到处都是变与不变的矛盾统一,上面的例题从不同的侧面展现了具体问题中的“变中有不变”,在解题教学过程中,结合学生实际情况,在研究具体问题时,可以采用有针对性的递进式设问或对题目进行适当的变式,让学生来探究题目自身所反映的普遍性规律,引导学生从“变”中寻求“不变”的本质．数学研究变化,是以找到其中的不变性为归宿,寻求并欣赏数学中无处不在的不变性质,领略不变量和不变性的内在魅力,是把握数学的钥匙之一．

3 对“数学文化”教学的感悟

数学是一个开放的系统,有来自于内部和外部的文化基因．一方面,数学的思想、精神、方法和观点,深刻地影响着人类文明的进步;另一方面,数学又从一般文化的发展中汲取营养,受到所处时代的制约．从这个意义上说,数学教育就是数学文化的教育．

“数学文化”并不仅仅是数学史,数学内容的本身就蕴含数学文化,课本中的数学概念、定理等,似乎并没有文化意味,但只要想想“为什么要研究这些概念、定理?是什么启发我们这么做?”,考虑这些问题就会涉及其文化价值．数学解题看似是抽象的推导,但只要多引导学生问问“这些方法或技巧是如何体现问题本质的?”,也会凸显其文化意味．让学生从这样的互动中认识数学的文化本质,在教学中揭示文化意义,进而让学生受到深刻的文化感染．数学不是冷冰冰的形式化的表述和推理,在这些内容背后都蕴含丰富的数学文化,在教学过程中,我们应该还“冰冷的美丽”以“火热的思考”,让学生接受数学并真正感受数学的无限魅力．

2017-06-26)