用绝对值函数的导数公式解决一类含参函数的最值问题

用绝对值函数的导数公式解决一类含参函数的最值问题

☉浙江省苍南县嘉禾中学 董吕修

综观近几年全国各省市的高考数学试题，一类形如“f（x）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+b0）|x-a|（其中g（x）是次数不超过三次的多项式函数，b3，b2，b1，b0不全为零）”的三次型含参绝对值函数的最值问题正悄然兴起.由于这类函数带有绝对值，且有参数在内“捣乱”，主要考查数形结合、分类讨论等数学思想，因此极具综合性和挑战性，学生常常感到迷雾重重，找不到突破口，以致于考试时往往弃而不答，令人惋惜！本文笔者借助导数公式（|x|）′=，结合高考题来化解讨论此类函数最值问题的一般策略，以期对大家有所启示.

一、导数公式

二、破解策略

众所周知，函数y=f（x）（x∈I）的最值点只可能在其极值可疑点（所谓极值可疑点是指导数为零的点和导数不存在的点）或区间I的端点处取到.因此，只需讨论此类含参绝对值函数在给定区间上的单调性，其最值情况就会一目了然.由于极值可疑点可能与参数有关，因此这里的关键是：如何判断极值可疑点是否在定义域内？为解决此问题，就需要将极值可疑点与区间端点按从小到大的顺序进行排列，分类讨论思想正是在这一背景下应运而生的.具体操作步骤可按如下步骤进行：求导→求出极值可疑点→确定分类讨论的界点→划分讨论范围→排序极值可疑点→根据图像大致变化趋势求出函数最值.

1.求导

根据导数的运算法则求出函数f（x）=g（x）+（b3x3+ b2x2+b1x+b0）|x-a|在x≠a时的导函数表达式.

2.求出极值可疑点

将……