一类中立型多时滞微分不等式无最终正解的进一步结果

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041）

1 引 言

近年来，中立型泛函微分不等式和微分方程出现了许多研究成果，参见文献[1-28]．本文将考虑如下一般形式的非线性偶数阶中立型多时滞不等式

其中n是偶数，τ＞0为常数．给出不等式（1）几个新的最终正解不存在准则．

关于不等式（1），本文始终假设下列条件成立：

引理1[29]设不恒为零，则∃tu≥t0和整数l∈{0,1,...,}n,n+l为奇数，使对t≥tu有u(k)(t)＞0,0≤k≤l且(-1)k+1u(k)(t)＞0,l≤k≤n.

引理2[30]设引理1的条件成立，且u(n-1)(t)⋅u(n)(t)≤0,t≥t0，则∃常数θ∈(0,1)和M＞0，使得对充分大的t有

2 主要结果

定理1假设条件成立，对任意整数m＞2，若存在常数θ∈(0,1)和M＞0，使得

则不等式（1）无最终正解.

证明用反证法，假设x(t)是（1）的最终正解，则存在t1≥t0，使得x(t)＞0,x(t-τ)＞0,x[gi(t)]＞0,t≥t1,

则y(t)≥x(t)＞0,t≥t1，且

故b(t)y(n-1)(t)为t的单调递减函数，可证y(n-1)(t)≥0,t≥t1．事实上，若存在t2≥t1，使得y(n-1)(t2)＜0,

则从t2到t对(4)积分，并由已知条件得,再次从t2到t对上式积分，得

令t→∞，并利用条件得因此，此与“y(t)＞0”矛盾．又注意到b′(t)=p(t)＞0和（4）可得，y(n)(t)≤0,t≥t2．由引理1知存在t3≥t2和奇数l(0≤l≤n-1)，使得y(i)(t)＞0,0≤i＜l;(-1)i-ly(i)(t)＞0,l≤i＜n,t≥t3．取i=1，得y′(t)＞0,t≥t3．

令

则z(t)≥0.由于x(t)≤y(t)，因此注意到y′(t)＞0 及条件 (Η3)与(Η4)，有

于是对于常数θ∈(0,1)，有

这样，由（5）、（6）及（7）得

由此可得，对于任意的t≥t2，有

对上式令t→∞，并取上极限得

此与条件（3）矛盾．定理1证毕．

推论1若定理1中的（3）式被替代为

则不等式（1）无最终正解.

定理2假设条件成立，如果存在常数m≥2和函数,使得

则不等式（1）无最终正解．

证明假设相反，x(t)是 （1） 的最终正解,则由定理 1的证明知存在常数θ∈(0 ，1)和M＞0，使得（8）式成立，这样

令t→∞，并取上极限得

由条件（11），有

此与条件（12）矛盾．定理2证毕．

定理3假设条件成立，如果存在常数m≥2和函数使得

则不等式（1）无最终正解．

证明假设相反，x(t)是（1）的最终正解，则由定理2的证明知……