量子纠缠纯化与浓缩研究进展

曹 聪，王铁军，王 川,∗

1.北京邮电大学，信息光子学与光通信国家重点实验室，北京100876 2.北京邮电大学民族教育学院，北京100876 3.北京邮电大学理学院，北京100876

量子纠缠纯化与浓缩研究进展

曹 聪1,2，王铁军1,3，王 川1,3,∗

1.北京邮电大学，信息光子学与光通信国家重点实验室，北京100876 2.北京邮电大学民族教育学院，北京100876 3.北京邮电大学理学院，北京100876

高保真的量子纠缠是量子信息科学中最重要的物理资源之一,特别是在量子通信中。然而，在实际的传输和存储过程中，纠缠的量子系统将不可避免地遭受信道噪声和环境的影响，导致纠缠的量子系统出现退相干。纠缠纯化和纠缠浓缩就是两个用来克服退相干问题的量子技术，纠缠纯化是从混合纠缠态中提取高保真最大纠缠态的过程，而纠缠浓缩是从非最大纠缠纯态中提取最大纠缠态的过程。本文重点介绍一些重要的纠缠纯化和纠缠浓缩方案，以及他们的物理原理。

量子纠缠，纠缠纯化，纠缠浓缩，人工原子，超纠缠

目录

I.引言 13

II.光子纠缠纯化与浓缩 14

A.光子纠缠纯化 14

B.光子纠缠浓缩 15

III.人工原子系统的纠缠纯化与浓缩 16

A.基于量子点与光学微腔耦合系统的纠缠纯化与浓缩 17

B.相干光辅助原子纠缠的纯化与浓缩 17

C.飞行光子辅助N-V色心的纠缠纯化与浓缩 18

IV.超纠缠纯化与浓缩 18

V.总结与展望 19

致谢 19

19

I.引言

量子纠缠在量子信息科学中扮演着重要的角色，是实现量子通信和量子计算不可或缺的重要资源。在量子纠缠的基础之上，人们可以实现量子计算[1]，量子密钥分配[2,3]，量子隐形传态[4]，量子密集编码[5,6]，量子安全直接通信[7,8]等量子信息处理任务。在大部分量子通信方案中，通信双方Alice和Bob都需要事先共享纯的最大纠缠态。而远程量子通信和量子通信网络则需要借助量子中继器来完成远距离量子节点的连接[9,10]。要实现量子中继，也需要共享纯的最大纠缠态。但是，纠缠态往往只能在局域制备，再通过纠缠分发的方式实现共享。例如，在量子通信实验中，要实现不同用户间纠缠态的共享，就需要将事先制备好的纠缠粒子（例如光子）通过信道传输给用户。然而，在实际的纠缠分发过程中，被传输的纠缠粒子将不可避免地与信道噪声和外界环境发生相互作用而造成退相干。这时原本纯的最大纠缠态经过信道传输后会变得不纯，成为混合纠缠态，或者也有可能变成非最大纠缠态，称之为部分纠缠态。同样，在对纠缠态进行存储的过程中，量子存储单元也可能受到环境的影响而出现退相干。

1996年，Bennett等最早提出了纠缠纯化(entanglement purifcation)和纠缠浓缩 (entanglement concentration)的思想[11,12]。这不仅是对量子信息理论的重要贡献，对于实际应用，特别是量子通信，同样具有重要意义。纠缠纯化，指的是从混合纠缠态中提取出高保真最大纠缠态的过程[11]。例如，对于两粒子系统，最大纠缠态的形式为Bell态

在经过纠缠分发或存储过程后，最大纠缠态会变为混合态。以发生比特错误为例，这时的混合态可以用密度算符

来表示，其中

这里的|0〉和|1〉表示二能级量子体系的两个本征态，如光子的水平极化|H〉和垂直极化|V〉等。从混合态ρ的系综里提取高保真最大纠缠态|ϕ+〉的过程就是纠缠纯化。在实际操作中，纠缠纯化通常是通信双方Alice和Bob通过局域操作（针对他们各自的子系统及辅助粒子的幺正变换或测量）和经典通信的方式将一个混合纠缠态的系综变成一个小的保真度更高的系综的过程。另一方面，与纠缠纯化不同，纠缠浓缩指的是从非最大纠缠纯态中提取最大纠缠态的过程，是针对纠缠纯态而言的[12]。例如，对两粒子纠缠态，非最大纠缠态的形式一般为

而最大纠缠态为Bell态

将态|ϕ′〉ab恢复为态|ϕ+〉ab的过程就称为纠缠浓缩。在实际操作中，纠缠浓缩通常是通信双方Alice和Bob通过局域操作和经典通信将一个部分纠缠纯态的系综变成一个小的最大纠缠纯态系综的过程。

利用纠缠纯化和纠缠浓缩，可以有效地克服纠缠的量子系统在纠缠分发和存储过程中的退相干问题，从而实现安全高效的量子通信。因此，在纠缠纯化和纠缠浓缩的思想被提出之后，很快获得了国际上广泛的关注，逐渐形成了一个重要的研究方向。不少研究组进一步发展了Bennett的思想，陆续提出了各种纠缠纯化与浓缩的理论方案，其中一些方案已经在实验上得到了原理性的验证。本文将主要介绍纠缠纯化和纠缠浓缩的几类重要的方案及物理原理，以及纠缠纯化和纠缠浓缩研究的最新进展。

II.光子纠缠纯化与浓缩

A.光子纠缠纯化

在纠缠纯化的早期研究中，人们提出的方案多为理想条件下的纯化方案。1996年，Bennett等[11]提出了第一个针对两粒子系统 Werner态的纠缠纯化方案。这个方案依赖于双边同步量子控制非 (c ontrolled-not,CNOT)操作和经典通信，因此也被称为CNOT门方案。随后，Deutsch等[13]改进了Bennett的原始方案，通过增加简单的幺正操作，使得整个纯化过程变得简单，而且纯化速度更快，效率更高。1998年，Murao等[14]提出了第一个针对多粒子系统Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)态的纠缠纯化方案。这些方案的共同点是认为纯化过程使用的设备是理想的,即可以完成理想的量子CNOT操作。另一方面，光子系统是量子信息最理想的携带者之一，在量子通信中被广泛使用，因此研究光子系统的纠缠纯化具有重要的意义。基于CNOT门的纠缠纯化方案[11,13,14]从原理上说可以有效的提高光子混合纠缠态的保真度，然而在光学上实现理想的量子CNOT门是非常困难的。例如，在线性光学中，仅仅使用单光子源、线性光学元件，包括单光子探测器和反馈，完成 CNOT门的最大成功概率仅为3/4。因此，基于CNOT门的纠缠纯化方案在光学实验中并不容易实现。

2001年，Pan等[15]提出了一个利用线性光学元件实现光子极化纠缠纯化的理论方案。与Bennett的原始CNOT门方案相比，Pan的方案虽然效率降低了一半，但是这一方案只需要借助光学偏振分束器(p olarizing beamsplitter,PBS)和单光子探测器就可以实现，成功避免了对理想量子CNOT门的依赖，因此从实验的角度来说要简单很多。随后，Simon和Pan又提出了针对实用参量下转换(parametricdown-conversion, PDC)纠缠源的光子纠缠纯化方案[16]，更进一步针对了实际的纠缠源。2003年，Pan等[17]在实验上演示了基于PBS的光子纠缠纯化过程，使得光子纠缠纯化理论在实验上得到了原理性的验证。

基于线性光学的光子纠缠纯化方案具有较高的实验可行性，大大推进了纠缠纯化的实验研究。这类方案需要借助后选择(post-selection)测量。例如，在对两对纠缠光子进行纯化时，需要保证两个PBS的4个空间模式出口在光子测量中有且只有一个光子。为了挑选这种四空间模式事件，通信双方Alice和Bob需要使用理想的单光子探测器，即能够区分光子数的探测器，来探测4个空间模式出射的光子。在现有的实验技术水平下，理想的单光子探测器仍不容易实现。另一方面，在针对PDC源的纠缠纯化方案中，在第一次纯化极化纠缠的比特错误后，空间模式纠缠就被破坏掉了，因此极化纠缠的相位错误的纯化及下一轮循环都无法借助空间模式纠缠。在实际操作中，即使拥有理想的单光子探测器，由于PDC源各有一定概率发出一对光子或两对光子，即使Alice和Bob在各自PBS的下空间模式出口探测到有且只有一个光子出射，也无法保证上空间模式出口就一定有一个光子出射。因此，第二轮纯化不能简单等效于对理想纠缠源的纯化。2008年，Sheng等[18]利用基于非线性cross-Kerr介质构造的量子非破坏性探测器(q uantum nondemolition detector,QND)提出了一个可循环迭代的光子纠缠纯化方案。这种QND兼具两光子非破坏性极化宇称测量和光子数探测的双重功能。QND的这种优点使得通信双方在对PDC源进行纯化时，既可以避免对复杂单光子探测器的依赖，同时可以通过循环迭代不断提高混合纠缠态的保真度。随后，我们研究组对Sheng的QND方案进行了改进，将QND中相干态的相位零差测量改进为强度测量，降低了QND对cross-Kerr介质非线性强度的要求[19,20]。2011年，Deng[21]提出了基于非线性Kerr介质的多光子纠缠纯化方案。通过增加对纠缠子系统的纠缠链接，使得方案具有更高的效率。

图1.(a)Sheng方案中使用的QND，(b)基于QND的光子纠缠浓缩方案原理图，(c)通过分级浓缩提高方案的效率，(d)推广到多光子GHZ态的浓缩。

2010年，确定纠缠纯化的概念被提出，利用的是超纠缠态的光子系统。这类确定纠缠纯化方案能够以完全确定的方式从一个纠缠系统中提取出一个最大纠缠态，与以往的概率渐进式的纠缠纯化方案[18,19]具有本质区别，从原理上降低了纠缠纯化对纠缠资源的消耗。2010年，Sheng等[22]提出了第一个两步确定纠缠纯化方案。方案利用光子系统的空间模式纠缠来纯化极化纠缠的比特错误，利用频率纠缠来纯化极化纠缠的相位错误，通过两步操作实现确定的极化纠缠纯化，从而获得一个最大纠缠态。可见，这种确定纠缠纯化的本质是光子自身不同自由度纠缠的转移。随后，一步确定纠缠纯化方案被提出[23−25]。方案利用实用PDC源和线性光学元件，通过一步操作就可以得到一个最大纠缠态，进一步降低了实验实现的难度。

B.光子纠缠浓缩

1996年，Bennett等[12]提出了第一个纠缠浓缩方案，其数学基础是Schmidt投影。随后，Bose等[26]和Shi等[27]推广了Bennett的思想，分别提出了基于纠缠交换的纠缠浓缩方案和基于幺正演化的纠缠浓缩方案。与纠缠纯化一样，针对光子系统的纠缠浓缩很快得到了最广泛的关注。

2001年，Zhao等[28]和Yamamoto等[29]分别提出了一个利用PBS和单光子探测器实现光子极化纠缠浓缩的理论方案。这两个研究组提出的方案从物理原理上说几乎相同，也被统称为PBS纠缠浓缩方案。这种方案不需要多光子联合测量，也不需要通信双方事先知道非最大纠缠态的准确信息，具有较高的实验可行性。2003年，这两个研究组分别在实验上实现了PBS纠缠浓缩方案[30,31]。另外，这个PBS方案可以直接推广用于多光子GHZ态的纠缠浓缩。

2008年，Sheng等[32]基于非线性 Kerr介质提出了高效的光子纠缠浓缩方案，引入了分级浓缩的思想，如图1所示。与PBS方案相比，Sheng的方案同样针对未知光子纠缠态,但是利用QND代替了PBS（图 1(b)），并通过分级浓缩，大大提高了浓缩效率（图1(c)）。这种基于非线性光学的分级浓缩的思想不仅适用于多光子纠缠浓缩，也适用于其他物理系统的纠缠浓缩，具有很好的普适性[33]。

图2.单光子辅助实现光子纠缠浓缩方案的原理图。(a)利用线性光学元件实现，(b)利用QND实现。

早在2000年，Bandyopadhyay[34]就提出了qubit辅助实现理想纠缠浓缩的概念。当通信双方事先知道部分纠缠态的系数时，可以通过在局域引入辅助qubit的方式实现理想的纠缠浓缩。这时每次浓缩不再需要两个相同的部分纠缠态作为初态，只需要一个部分纠缠态和一个辅助qubit。通过迭代浓缩过程，可以获得理想的成功概率。2012年，Sheng等[35]提出了单光子辅助实现的光子纠缠浓缩方案。这个方案在每次浓缩时只需要一个部分纠缠光子对和一个辅助单光子，与传统的光子纠缠浓缩方案[28,29,32]相比可以很好的节约纠缠资源。方案可以分别利用线性光学元件或 QND来实现。当利用线性光学元件实现时（图 2(a)），具有较高的实验可行性[30,31]。当利用QND实现时（图2(b)），不需要复杂的单光子探测器，可以通过迭代获得更高的成功概率。这个方案需要更少的局域操作，并降低了对经典通信的依赖，因此很容易推广用于多光子系统的纠缠浓缩。同年，Deng等[36]针对非局域光子系统提出了一个理想纠缠浓缩方案，同样利用了辅助单光子以及对辅助光子的投影测量。这个方案利用非破坏性宇称校验探测器（paritycheckdetector,PCD）来实现（图 3(a)），通过迭代纠缠浓缩过程，可以获得理想的成功概率（图3(b)）。这两个方案[35,36]中用到的物理思想具有很好的普适性，可以推广用于多光子W态的纠缠浓缩[37−40]，Cluster态纠缠浓缩[41,42]以及X态纠缠浓缩[43]等多光子复杂结构纠缠浓缩。

图3.(a)利用辅助单光子和投影测量实现理想纠缠浓缩的原理图，(b)不同迭代次数下方案的成功概率与初始纠缠度之间的关系。

III.人工原子系统的纠缠纯化与浓缩

人工原子系统作为实现量子信息处理的载体之一，具有良好的相干性，且易于调控，在未来的固态量子信息处理中拥有巨大的应用前景。在基于人工原子系统的量子信息处理研究中，人工原子通常作为量子网络中的有效节点，担负着对量子态进行存储和处理的任务。然而，人工原子间的纠缠同样会受外界噪声的影响，使得最大纠缠态变为混合态，或者变成部分纠缠态。因此研究针对人工原子系统的纠缠纯化和纠缠浓缩同样非常重要。近年来，各研究组在这一领域取得了较大进展，针对不同的人工原子系统，如量子点[44−50]、金刚石中的氮-空位色心 (nitrogen-vacancy center，N-V色心)[51−54]等，都提出了一些理论方案。下面我们简单介绍几类重要的纠缠纯化与浓缩方案。

A.基于量子点与光学微腔耦合系统的纠缠纯化与浓缩

图4.(a)基于量子点与光学微腔耦合系统的两电子自旋PCG示意图，(b)利用局域的PCG和单电子测量实现非局域电子自旋纠缠纯化的原理图。

2011年，我们研究组针对量子点与光学微腔耦合系统间的电子自旋纠缠态，提出了一个纠缠纯化方案[44]。利用量子点与微腔耦合系统的光学特性和可扩展性，我们以光子为媒介，在双腔耦合模型的基础上构造了两电子自旋的宇称校验门 (parity-checkgate, PCG)（图4(a)），并利用非破坏性宇称校验测量有效地实现了电子自旋纠缠纯化（图4(b)）。该方案应用于量子中继时，可以在量子存储单元上同时消除光子传输过程及存储过程中信道噪声和环境噪声对纠缠态的退相干影响。这个方案中使用的局域操作仅为单光子探测和单电子探测，且耦合系统不需要工作在严格的强耦合条件下，因此具有很高的实验可行性。这个PCG还可以进一步用于未知电子自旋对的纠缠浓缩[44]。

图5.(a)利用辅助量子点实现电子自旋纠缠浓缩的原理图，(b)在迭代6次之后方案的成功概率与系统参数及初始系数间的关系。

随后，我们进一步利用qubit辅助实现理想纠缠浓缩的思想，基于量子点与微腔耦合系统提出了高效率的电子自旋纠缠浓缩方案[45]。在这个方案中，每次浓缩不再需要两个相同的两电子自旋系统。每个处于部分纠缠态的两电子自旋系统都可以借助一个局域的辅助量子点和一些辅助单光子实现浓缩（图5(a)）。通过迭代操作，方案可以获得理想的成功概率（图5(b)）。该文章的思想被进一步发展，即处于部分纠缠态的两电子自旋系统可以借助局域辅助单光子就可以实现浓缩[47]。

B.相干光辅助原子纠缠的纯化与浓缩

利用单光子为媒介进行宇称校验测量的过程中，由于光子损耗会造成信号丢失，因此会在一定程度上影响纠缠纯化与浓缩的效率。为了克服这一问题，我们研究组于2013年提出了相干光辅助实现原子纠缠纯化与浓缩的方案[49,50]。在相干态的腔输入输出过程中，光子损耗只影响相干光的振幅而不影响加载信息的相位，因此可以更高效的实现对原子态的非破坏性测量。同时，系统只需要工作在低Q腔及中间耦合条件下就可以使相干态的输出模式获得很大的非线性相移，因此大大降低了方案对系统参数的要求。图6为利用相干光在低Q腔中的输入输出过程实现非局域原子纠缠的纠缠纯化和未知原子纠缠态的纠缠浓缩原理图。

图6.利用相干态在低Q腔中的输入输出过程实现原子纠缠纯化与浓缩的方案原理图。

C.飞行光子辅助N-V色心的纠缠纯化与浓缩

金刚石中的N-V色心具有良好的光学操控性，甚至在室温条件下也具有良好的电子自旋相干性，因此被认为是未来实现室温固态量子信息处理最具前景的物理系统。近年来，这一系统的实用性得到了充分的实验验证。将N-V色心与光学微腔耦合具有重要意义。例如，将N-V色心耦合在微腔中，一方面可以加强N-V色心的共振零声子线(zero-phonon line，ZPL)跃迁，另一方面可以实现固态光学腔量子电动力学系统。目前已经有不少研究组利用N-V色心与光学微腔的耦合系统开展量子信息处理研究。

我们研究组利用N-V色心与回音壁模式微环芯腔的耦合系统（图7），以及飞行光子的输入输出过程，系统的研究了N-V色心电子自旋纠缠态的纠缠纯化和纠缠浓缩[51−54]。一方面，利用飞行光子为媒介，可以方便的构造针对N-V色心的PCG（图8），因此上文中介绍的基于PCG的纠缠纯化与浓缩方案可以推广到N-V色心的纠缠纯化与浓缩当中。另一方面，通过在局域引入辅助单光子与N-V色心相互作用，并对辅助光子进行适当的操作和测量，还可以实现N-V色心的理想纠缠浓缩。我们还将N-V色心的纠缠浓缩推广到无退相干子空间(decoherence-free subspace，DFS)中，用于同时克服退相位噪声的影响。例如，2014年，利用N-V色心与光学微腔耦合系统及微腔的输入输出模式，我们提出了针对DFS中逻辑态的纠缠浓缩方案[55,56]。由于DFS编码的鲁棒性以及N-V色心与光学微腔耦合系统的可扩展性，这一方案可以进一步用于未来的量子中继和分布式量子计算。

图7.(a)N-V色心与微环芯腔耦合系统及飞行光子输入输出示意图，(b)N-V色心的三能级结构和相关的跃迁耦合。

图8.基于N-V色心的宇称校验门PCG示意图

IV.超纠缠纯化与浓缩

光子拥有多个自由度，例如偏振，空间模式，频率，动量，轨道角动量等。在量子信息处理中，光子的不同自由度都可以用于编码信息。光子在两个或两个以上自由度间同时存在纠缠，称为超纠缠。前面介绍过，借助超纠缠光子系统的空间模式纠缠和频率纠缠，可以实现确定的极化纠缠纯化。除此之外，利用光子系统的超纠缠还可以实现确定的Bell态分析，因此可以建立长距离的量子中继器。然而，这种确定纠缠纯化和确定 Bell态分析都是针对光子的一个自由度而言的。要想提高量子通信的信道容量，使光子携带和传递更多的信息，就需要充分利用光子的多自由度。利用光子多自由度上的量子态进行量子计算，还能提升并行计算速度，节约量子资源，降低噪声的影响。因此，研究同时针对光子多个自由度的超纠缠纯化和超纠缠浓缩具有重要意义。近年来，不少研究组利用线性或非线性光学设计了一些超纠缠纯化与浓缩方案[57−62]，也为多自由度量子信息处理提供了一些方法。

V.总结与展望

高保真的量子纠缠是量子信息处理中重要的物理资源。在实际的传输和存储过程中，纠缠的量子系统会不可避免地与信道噪声和环境发生相互作用而导致退相干。为了克服退相干并得到高保真的量子纠缠，需要借助纠缠纯化和纠缠浓缩。

本文介绍了一些重要的纠缠纯化与浓缩方案，以及它们背后的物理原理。这些方案在量子中继器，远程量子通信，量子网络中有着广泛的应用前景，也必能演化出其他一些有价值的应用。

致谢

研究得到了国家自然科学基金委项目（编号61622103，61471050和11404031）的资助。

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High-fdelity quantum entanglement is one of the most important physical resources in quantum information science,especially in quantum communications.However,in a practical transmission or the process for storing an entangled quantum system,it inevitably sufers from channel noise and its environment.The noise will make the entangled quantum system decoherent.Entanglement purifcation and entanglement concentration are two important quantum techniques for depressing the decoherence of the entanglement.Entanglement purifcation is used to extract some high-fdelity maximally entangled states from an ensemble in a mixed state,where entanglement concentration is used to distill some maximally entangled states from an ensemble in a less-entangled pure state.This article focuses on the introduction of some important entanglement purifcation schemes and entanglement concentration schemes,as well as the physical principles of these schemes.

Recent Development on Quantum Entanglement Purifcation and Concentration

Cao Cong,1,2Wang Tie-Jun,1,3Wang Chuan1,3
1.State Key Laboratory of Information Photonics and Optical Communications, Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876 2.School of Ethnic Minority Education,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876 3.School of Science,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876

quantum entanglement;entanglement purifcation;entanglement concentration; artifcial atom;hyper entanglement

O469

A

10.13725/j.cnki.pip.2015.02.002

Received date:2016-11-21

*E-mail:wangchuan@bupt.edu.cn

1000-0542(2017)01-0013-9 13