五级基准量表等腰三角正态分布计量公式

黄亮　刘立云　赵霖　黄晓勰

摘 要 量块是几何量计量领域里使用最广泛和准确度较高的实物标志量具之一。它在五级基准量表等腰三角正态分布的计量中，作为几何量块实体能够通过目测和最简单的算术公式：X^2/12.5，就能以最快捷的计算方法，获得最精确的正态分布函数值，其误差为“0”。它是我国元朝数学家和教育家朱世杰（1299年）的伟大发现。

关键词 量表 几何量 等腰三角 正态分布 计量公式

中图分类号：O212 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.019

1 五分等腰三角几何量数学模型①

一个正方块EFCB的四边均等分为五等分，并连线构成5^2=25个均等的小正方块，其中ABC为等腰三角则由12.5个均等的小方块组成；再将一个小方块均等分为四个小直角三角块（图1）；分别以小方块和小直角三角块为计量单位，计算它们的频数、累加频数、百分率、累加百分率、量表量、分辨率、总数、总量、均量、中位量等诸量之间的对应关系。②

2 目测量块计量法

2.1 小正方量块计量法

等腰三角ABC的面积：25个小方块/2=12.5个小方块；ABD和ACD为两个对称的大直角三角形面积：25个小方块/4=6.25个小方块。量表长度BC=2BD=2CD=5长度单位，BD=CD=2.5长度单位（图1）。

BD长度2.5单位为量表变量（X），当量表数为0.5时，则0.5^2=0.25，即对应的等腰三角AB边上的累加频数为0.25（小正方块），同理1^2=1（小正方块），即对应的等腰三角AB边上的累加频数为1（小正方块），1.5^2=2.25（小正方块），2^2=4（小正方块）、2.5^2=6.25（小正方块）（图1）。

等腰三角ABC中的正方块数比为（1：3：4.5：3：1），正方块的总数为12.5。

等腰三角BC 量表自然数1、2、3、4、5对应的百分率为1/12.5=8%、3/12.5=24%、4.5/12.5=36%、3/12.5=24%、1/12.5=8%。③

等腰三角BC量表自然数1、2、3、4、5对应的累加百分率为0、8%、32%、68%、92%、100%。

2.2 小直角三角量块计量法

等腰三角ABC的面积：12.5个小方块€？=50个小直角三角块。ABD大直角三角面积：6.25€？=25（小直角三角块）。

等腰三角ABC中的小直角三角块数频数比为“1：3：5：7：9：9：7：5：3：1”，小直角三角块总数为50。

等腰三角BC量表自然数“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”对应的百分率为（0、1/50=2%、3/50=6%、5/50=10%、7/50=14%、9/50=18%、9/50=18%、7/50=14%、5/50=10%、3/50=6%、1/50=2%）；而对应的累加百分率则为（0、2%、8%、18%、32%、50%、68%、82%、92%、98%、100%）（圖2）。④

2.3 量表自然数平方量块计量法

五级基准等腰三角正态分布左侧直角三角累加百分率计量公式：

（X^2）/（（2X）^2/2）。 分子“X为直角三角底边长度=0.5N”为变量（0-2.5），分母“2X=N=5”为常量。

量表自然数的平方/12.5=小方块累加频数/12.5=小直角三角块累加频数/50=等腰三角的累加百分率。例如0.1^2/12.5=08%，0.2^2/12.5=0.32%…0.9^2/12.5=6.48%，1.0^2/12.5=8%，1.1^2/12.5=9.68%，1.9^2/12.5=28.88%，2.0^2/12.5=32%，2.1^2/12.5=35.28%，2.4^2/12.5=46.08%，2.5^2/12.5=50%.

1^2/50=2%，2^2/50=4/50=8%，3^2/50=9/50=18%，4^2/12.5=16/50=32%，5^2/50=25/50=50%（图2）。

五级基准等腰三角正态分布右侧累加百分率计量公式：1- X^2/（（2X）^2/2）⑤

2.4 杨辉三角、累加三角、等腰三角和高斯标准正态分布比较（表1）

2^N 展开的二项式分布系数，当N=4时，其量表为5，几何正方形量块比为1：4：6：4：1=16

N^2 展开的累加数，当N=5时，其量表数为5，几何正方形量块比为1：3：4.5：3：1=12.5

N^2 展开的等腰三角当N=10时，其量表数为10，几何直角三角量块比为1：3：5：7：9：9：7：5：3：1=50

2.5 群体考试成绩原始分五级百分标准化转换

五分等腰三角正态分布量表五级分0、1、2、3、4、5对应的五级百分率分别为0、8%、24%、36%、24%、8%；而五分等腰三角正态分布量表五级百分50、60、70、80、90、100对应的五级累加百分率则为0、8%、32%、68%、92%、100%，前者是频数定级（性）的阈值点，后者则是量表定分（量）的阈值点。

群体考试成绩原始分从高分到低分排序，分别统计其频数和累加百分率；根据原始分累加百分率，跨越阈值点的累加百分率分别定为原始分的阈值点；原始分的6个阈值点分别与等腰三角量表五级百分上的6个阈值点等值，代入标准化转换公式：

（（X-L）/（H-L））*10+阈值 （X、H、L分别为原始分阈值区的变量分、上限分和下限分）。

例如，将X高级中学X班级三学科考试成绩非正态分布的原始分，代入上述标准化转换公式，转换成可比的科学的中国古代的五级百分标准分。

始分，代入上述标准化转换公式，转换成可比的科学的中国古代的五级百分标准分。

3 结论

通过四种数学模型比较发现，杨辉三角、累加三角和等腰三角三种几何量数学模型之间误差较小，对原始分转换成的标准分结果几乎完全相同；高斯钟形数学模型概率分布函数值则误差较大；等腰三角计算公式是最简单、直观、快捷、精准的量块计算公式；杨辉三角、累加三角和等腰三角都是封闭系统中量块的计量方法，其误差为“0”总和为“1”，它们都有明确的计量单位（量表）和计量基准（阈值区的百分比），有四个量变到质变的阈值点；而高斯钟形面积则属于开放系统，面积误差趋于“0”，总和趋于“1”，没有明确的计量单位和计量基准，没有量变到质变的阈值点，是宏观统计学，误差较大，而且计算复杂。