“三位数的连续退位减法”教学研究报告

文︳长沙市岳麓区第一小学数学组潇湘数学教育工作室

“三位数的连续退位减法”教学研究报告

文︳长沙市岳麓区第一小学数学组潇湘数学教育工作室

一、问题

人教版三年级上册第四单元“三位数的连续退位减法”是学生在学习了两位数减两位数的退位减法和整百、整十的三位数减三位数的减法的基础上进一步学习的内容，同时它也是减法教学的节点。通读教材，把握教学要求，我们认为这节课的教学目标是：不但要求学生从两位数减法的经验出发学习三位数的减法，而且要求学生掌握减法计算的通法，进行多位数的减法计算。从教材编排上看，三位数的减法只是将原有的两位数改成三位数而已，看似非常简单的一个内容，学生在计算时却频繁出错，这种情况一直困扰着众多教师。是什么原因使得学生在计算中频繁出错呢？我们又该如何帮助学生解决计算中遇到的问题，切实提高计算技能呢？为此，我们数学组针对这一内容进行了一些思考与实践。

1.教学实践中的问题与原因分析

为了切实掌握学生的学习起点，以及在计算中存在的问题，我们从三年级学生中随机抽取了64名学生进行了教学前测，以下是前测的结果统计表。

题次题目计算正确粗心忘记退位①435-322 98.4% 1.6%②654-128 78.1% 9.4% 7.8% 4.7%③435-86 68.8% 6.3% 20.2% 4.7%④403-158 40.6% 1.6% 43.8% 14%计算错误会算理，计算错误不会算理，计算错误

从调查统计结果来看，学生在未学习这一内容时，三位数不退位的减法计算正确率是98.4%，然而在三位数退一位的减法计算时，正确率下降到78.1%，特别是被减数中间有0的连续退位减法计算，正确率仅为40.6%。通过对学生的问卷进行分析，我们发现学生主要存在以下两个问题。

（1）学生忘记退位。

计算435－86时，个位上的5不够减，需要向十位上的3借1当作10，与个位上的5合成15，再减6，个位上得9。计算十位时，十位上的3被个位上的5借去了1，十位上的3先减1，剩下2，2不够减时，又要向百位上的4借1当作10，和十位上的2合成12，再减8，十位上得4。百位上的4被十位借去了1，百位上是3，所以得数是349。在计算435－86=349的过程中，十位的计算最复杂，经历了减1（被个位上的5借去1），在十位上加10（向百位借1）的复杂过程。学生在计算的过程中很容易忘记十位上的3被个位上的5借去1，十位上没有先减1就直接计算，于是出现了如图1所示的忘记退位的情况。

图1

在计算连续退位减法时，学生忘记退位的根本原因是：十位上的退位思维程序复杂，而且这种思维程序均不能直观地表示出来，除了用退位点表示后一位借走的1，其他思维过程都需要在大脑中记忆。尤其是看到十位上带有借位点的3在心里却要当作2才行，这种“表里不一”的现象使得学生在计算的过程中很难做到知行合一，因而容易出错。

（2）错误定义“跨位借”。

计算403－158时，个位上的3不够减，需要向十位借1，而十位恰好是0时，学生很容易出现错误。计算个位时，学生认为十位上的0表示一个也没有，个位无法向十位借到1，于是索性向百位上的4借1。借得百位上的1又恰与二年级“借1当10”的经验相吻合，学生于是将百位上借得的1与个位上原有的3合成13，再减8，个位上得5。计算十位时，十位上是0，也不够减，十位上的0也向百位上的4借1，十位上的0与百位上借得的1合成10，再减5，十位上得5。百位上的4被个位和十位都借去了1，所以百位上只剩下2，再减1，百位上得1。这样一来，学生在计算时出现了如图2所示的“跨位借”情况。

图2

学生出现“跨位借”的主要原因是：学生不仅不知道如何处理这类十位上是0的情况，还受到二年级已经有的“借位”和“借1当10”经验的影响，并不知道“借1当10”的意义。“借1当10”指的是个位不够减时，向十位借得1，就在个位上加10；当十位不够减时，十位向百位借得1，就在十位上加10。而并非这类学生所想的，个位跨过十位直接向百位借得的1，在个位上也只当作10，却不知道百位上的1表示10个十或是100个一。正是因为二年级“借1当10”经验的负迁移，学生才出现了这类“跨位借”的错误。

2.教学对策

通过以上分析，我们不仅了解了学生的学习基础，还掌握了学生在学习中存在的问题。因此，在本节课的教学时，应注意以下几个问题——

（1）在学生已有的两位数减法计算经验基础上进行三位数的减法学习。

在学习本节内容之前，学生学习了两位数减两位数的退位减法以及整百、整十的三位数减三位数的减法，能熟练地列竖式计算，有了退位减法计算及“借1当10”的经验。因此，在学习本节内容时，教师应当从学生已有的经验出发，迁移学习三位数的减法，这样既可以降低本节教学内容的难度，又能够沟通三位数减法与两位数减法之间的联系，让学生进一步理解减法计算之间的通性，也为后续学习多位数的减法打好铺垫。

（2）总结口诀，提醒学生不要忘记退位。

为了解决学生在计算连续退位减法时总是忘记退位而频繁出错的问题，实际教学中，教师可以让学生经历连续退位减法的计算过程，获得在计算中因忘记退位导致计算错误的教训；接着，教师适时创编口诀“头上有点就减1”，提醒学生在计算过程中看到退位点就要退位，从而提高计算的正确率。

（3）借助直观形象的演示，帮助学生理解“借1当10”的意义，避免出现“跨位借”的现象。

学生有“借1当10”的经验但并不理解“借1当10”的意义。学生在计算被减数十位上是0的三位数减法时，让个位跨过十位向百位借1，并对“借1当10”进行草率的推广，从而出现了“跨位借”的情况。教师直观形象地演示个位如何向十位上的0借1的过程，能够让学生弄清楚“借1当10”的意义，避免在计算中出现“跨位借”的情况。

按照以上思路，我们进行了如下的教学尝试。

二、实践

1.迁移两位数减两位数的经验，尝试三位数的减法计算。

师：今天我们一起来学习笔算减法。之前我们学习了两位数的笔算减法，考考你们，看你们掌握得怎么样。（板书：435－18=）请同学们动手算一算，并思考，列竖式要注意什么？该如何进行计算？

生：列竖式时相同数位要对齐，从个位算起。

（学生独立完成计算）

师：很多同学已经完成了计算，我们一起来计算。首先计算个位，个位上是5减8，不够减，怎么办呢？

生1：向前一位借1。

师：个位向谁借1呢？

生1：个位向十位借1。

师：在减法竖式计算时，不够减向前一位借，为了便于记忆，我们通常使用借位点，表示个位向十位借了1。那个位向十位借得的1，在个位上表示多少个一呢？

生2：个位向十位借得的1，在个位上表示10个一。

师：个位向十位借得了10个一之后，个位上是多少呢？是怎么得到的？

生3：个位上是15，因为个位上原有5个一，又向十位借得了10个一，就合成了15个一。

师：说得真好，个位上就是15-8=7，所以个位上的得数是7。算完个位再算十位，被减数的十位上是几呢？

生4：十位上是2。

师：我就纳闷了，被减数的十位上分明是3，怎么说成是2呢？

生5：因为个位向十位借走了1。

师：你是怎么知道的？

生5：十位上有借位点。

师：是的，刚才计算个位时，个位向十位上的3借了1，就要减1，十位上只剩下2。像这种情况，我们就说要退位1。（板书：退位）十位上是2减1等于1，十位上的得数是1。接下来算百位，百位上就是4，所以435－18=417。你做对了吗？举手示意一下。（学生全部举手）

师：很好，像这样，遇到不够减时，需要向前一位借1，本位就需要退位的减法，看来你们都会计算了。

设计意图：由于前测的调查结果表明学生在学习三位数的减法之前已经具备一定的学习基础，完全有能力对三位数的退位减法进行探究；且教材中小精灵的提示语“怎样列竖式？”是为了让学生回顾竖式计算时相同数位要对齐，我们在教学这一内容时，对教材进行了调整，将教材编排的例题1计算435－322改为435－18，更有利于学生理解竖式计算时相同数位要对齐这一原则。

2.总结口诀“头上有点就减1”，提醒学生记得退位。

师：刚才你们已经会计算三位数的退位减法，老师这里还有一个难度更大的计算，（板书：435－86=）你们还能像刚才那样非常轻松地解决吗？

学生独立完成，教师展示学生忘记退位的典型错误：435－86=359。

师：你们和他的答案相同吗？（大部分学生摇头表示不一样）我们也一起算一算，如果他计算错误，帮他找找错误的原因，好吗？

师：列竖式要注意，相同数位对齐，从个位算起。个位上是5减6，不够减，怎么办呢？

生6：得向十位借1。十位上的1与个位上原来的5合成15，个位就是15－6=9，个位上的得数是9。

师：很好，再算十位，十位上又怎么算？

生7：十位是2，2减8不够减，得向百位借1再计算。

师：请等一下，十位上分明是3，为什么你说是2？

生7：因为个位向十位借了1，十位需要退位，所以十位就是3－1=2。

师：哦，是的。十位上的退位点提醒我们需要退位。十位上是2减8又不够减，得向百位借1再计算。究竟怎么算呢？

生8：十位向百位借得1，与十位上原有的2合成12。十位上就是12－8=4，所以十位上的得数是4。

师：最后就得计算百位了，百位上怎么计算？

生9：百位上是3。

师：你是怎么知道的？说说你的理由。

生9：百位上的4退位1，就是3。

师：通过刚才的计算，我们可以得到435－86= 349。现在请同学们帮刚才这位结果是359的同学找找看，他错在哪里了，并帮他找到出错的原因。

生10：他计算时十位上出错了。个位向十位借了1，十位上忘记退位了。

师：是的，我们在计算过程中一定要记得退位。刚才老师说，计算435－86比计算435－18难，你觉得难在哪里？

生11：在计算435－86时，个位和十位均需要向前一位借1。

师：说得很好，这就是我们今天要学习的连续退位减法。（板书课题：连续退位减法）你们都知道怎样计算连续退位减法了吗？请你们动笔试一试。

板书：

844－21353－123354－66480－85

133－74261－52278－75406－102

（学生独立练习并核对答案）

师：大家都算对了吗？你们有没有发现，我们容易出错的都是这些需要退位的地方。（学生点头表示同意）那老师教你一个小窍门，掌握了它，估计你以后就再也不会出错了。在计算时一看到这些数字头上有借位点，马上减1。也就是“头上有点就减1”。

设计意图：主动暴露学生的错误，加深学生对这一错误的印象，再通过总结口诀“头上有点就减1”强化正确的退位方式。

3.计数器直观演示个位如何借1。

师：刚才我们已经学习了连续退位减法，不知道你们掌握得怎么样，我这里有一个比较难的问题想考考你们。（板书：403－158）

（生独立计算，师展示错误答案：403-158=255）

师：这位同学的计算正确吗？我们也一起来算一算。竖式计算要注意相同数位对齐，从个位算起，个位上是3减8，不够减，怎么办呢？

生12：得向十位借1。

师：向十位借1，会遇到困难吗？十位能借到吗？

生12：借不到。

师：是啊！十位上是0，那怎么办呢？

生13：可以向百位借。

师：百位上不是0，那肯定能借到。那从百位借1之后，十位上是几呢？

生：10、9。

师：到底是几呢？我们可以借助计数器帮助理解。（计数器演示：个位不够减，向十位借；十位是0，向百位借，十位向百位借1，百位退1，十位加10，如图3、图4）现在十位上有10个十了，可以借给个位了，借1给个位，十位上是几呢？接下来该怎么算？

图3

图4

生14：十位上是9。个位从十位借1，与个位上的3合成13，（师演示，如图5）13－8=5，个位上的得数就是5。十位上就是9－5=4。

图5

师：算得很对。那百位上该怎么算呢？结果是多少？

生15：百位上是3－1=2。所以正确的答案是245。

师：很好，现在请大家观察一下，刚才老师说“头上有点就减1”，那0上有点就是几呢？

生16：0上有点就是9。

师：是的，0上有点看作9。（板书）其实，不仅需要看作9，还要记得向前一位借1。

设计意图：在教学被减数中间有0的减法时，学生学会如何处理被减数中间有0的情况并理解“借1当10”的意义是本节教学内容的重点和难点。教师利用计数器进行直观演示，使学生清楚地看到个位如何向十位上的0借得1的过程，理解“借1当10”的意义，从而避免出现“跨位借”的现象。

三、讨论

1.对总结口诀的思考。

在连续退位减法的教学中，很多学生很难做到知行合一，因忘记退位而频繁出错，因此老师们会创编计算口诀，利用这些口诀提醒学生退位，从而提高学生的计算正确率。我们在教学本节内容时，为了避免学生忘记退位导致计算错误，也创编了“头上有点就减1”的口诀，从而提醒学生要退位。从教学效果来看，学生的正确率得到了提高。由此可以看出，运用口诀辅助教学有利于化解教学中的一些难点问题。

但是，有些口诀缺乏延续性，使得学生在后续学习中产生误解。在教学三位数的连续退位减法时，学生出现了“跨位借”的情况，我们从教材及教师的教学中发现，出现“跨位借”的原因是，学生在二年级学习两位数退位减法时，教师过于强调“不够减就向前一位借1”和“借1当10”，使学生形成了思维定式。

综上所述，口诀对计算教学而言，可以化解一些教学难点，同时也存在一定的缺陷。当学生因为口诀的负迁移产生错误时，我们不能一味地责怪学生，而应该关注教材，研究学生学过哪些与之关联的知识，思考教师在教这些关联知识时的教学路径，进而从中寻找出解决问题的方法。

不仅在计算教学中如此，在人教版教材三年级上册第15页例题4（如图6所示）用加法估算解决问题的教学中，学生也不会使用估算正确地解答（如图7所示）。我们从教材及教师的教学中发现，学生不会将239估算成230的根本原因是，教师在教学二年级下册第91页例题10中过于强调用四舍五入法求近似数。诸如此类问题，教师在教学时应引起重视。

图6

图7

2.计算教学需要注意的两个问题。

（1）正确看待问题情境在计算教学中的价值。

《数学课程标准（2011年版）》要求学生能够结合具体情境，解决实际问题。创设一个好的问题情境引入教学无疑是有利于教学的，但是在计算教学中，有些老师一味地渲染问题情境，致使学生提出了很多与本节课教学无关的问题。教师在处理这些无关问题时冲淡了本节课的教学重点“如何计算”，降低了教学效率。也有教师将计算教学重点倾向于问题解决，花费大量的时间从情境中得出一个算式，脱离了本节课的教学重点“如何计算”。综上所述，在计算教学中，情境一定要为教学服务，不能因为创设情境而脱离教学目标。

（2）计算教学中应保证学生有充足的练习时间。

计算是一种技能，是需要时间来训练的。在计算教学中，给学生留有充足的时间进行课堂练习是很有必要的。在教学中，教师该怎样才能匀出充足的时间给学生练习呢？事实上，在教学某些重难点内容时，当学生无论如何都探究不好时，教师应充分发挥其主导作用，以通俗的讲解代替学生的合作探究，这样便可以节约大量的时间，将匀出的时间让学生进行巩固练习，从而达到良好的教学效果。

（执笔：高业波、李晖、刘慧、罗凤、易杨、徐旺、李闯）