数学概念课要做到自然和理性
——以函数y=Asin（ωx+φ）的图像为例

文︳周龙虎

数学概念课要做到自然和理性
——以函数y=Asin（ωx+φ）的图像为例

文︳周龙虎

我们有一个共识：数学概念课难上，要上得入木三分则难上加难。数学概念是区分并突显数学对象科学的有效方式，是培养思维、提高认识力的重要媒介。数学概念的引入、得出、辨析及升华，每一个环节都不可或缺，且要做到道法自然、崇尚理性。人教版高中数学教材的编委们写道“数学是自然的”，它包含数学概念的构建及定义、定理的探究与发现是自然的，知识发生、发展的逻辑顺序应是自然的，学生的自主、合作、探究和教师的教也应是自然的。数学课还应是理性的，它包含用数学的方式探索、探讨问题，用严谨且规范的方式表达问题等。那么，高中数学概念课如何做到自然和理性呢？笔者以函数y=Asin（ωt+φ）的图像为例谈一谈自己的感受。

一、从数学内部着手，自然引入

生活和物理学中具有周期规律的现象很多，如潮汐现象、音乐、单摆、简谐运动等。这一运动规律实际上就是转化或抽象到单位圆上运动的点的纵坐标的运动规律，由此自然联想到一般情况：半径为A的圆周上匀速运动的点P（角速度为ω，初始位置对应的角为φ），运动时间为t，该点的纵坐标表达式为y=Asin（ωt+φ），从而引发学生思考如何研究该函数模型的性质。研究函数的一般思路是从函数图像出发，观察图像特征，猜想并验证一般规律，自然引出课题：研究函数y=Asin（ωt+φ）的图像。

二、采用问题分解、先易后难的策略，自然生成

从解析式的角度对比函数y=Asin（ωt+φ）与正弦函数，研究3个参量（A，ω，φ）对函数y=Asin（ωt+φ）图像的影响是顺理成章的事。3个参量如果一起研究，不好操作，可以采取化整为零、问题分解的策略，逐个击破，然后进行综合分析。从对函数图像影响最熟悉（或简单）的那个量开始研究符合学生的认知规律。函数图像平移的“左加右减”是学生已掌握的旧知，自然会先研究φ对函数图像的影响。教师引导学生得到φ对函数图像影响的一般规律后，放手让学生探讨另外两个参量对函数图像的影响，起到先行组织者的作用。

三、以图像变换方式为契机，辨析说理

研究完3个参量对函数y=Asin（ωt+φ）图像的影响后，再回到之前的问题上：“如何通过变换由y=sinx的图像得到y=Asin（ωt+φ）的图像呢？”从几何画板演示中，学生可以感受图像变换中的平移规律与伸缩规律。对一个具体的函数，学生有两种变换策略：一是先平移再伸缩；二是先伸缩再平移。采用两种不同的变换方式实际上是对函数图像变换的再认识、再运用，彰显了图像变换是有序的、可优化的特征。教师可以利用例题形式（例2）通过图像变换得到函数y=Asin（ωt+φ）的图像，再回到实际问题（简谐运动）的物理意义（振幅变换、平移变换及周期变换），让学生再次体会3个参量对函数图像的影响。

例2.下图是某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题：

（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？

（2）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？

（3）写出这个简谐运动的函数表达式。

（作者单位：华中师大一附中）