从数学史出发
——“圆的周长”课堂实录与设计意图

文︳张新春

从数学史出发
——“圆的周长”课堂实录与设计意图

文︳张新春

课堂实录

一、谈话引入

师：咱们第一次见面，知道张老师姓什么吗？（生笑）我其实不是这个意思，zhang这个姓，都是念zhang，但这是两个不同的姓，你们知道吗？（知道）对，一个是“立早章”，另一个是“弓长张”，知道张老师姓哪个zhang吗？

生：弓长张！

师：是的，说到弓长张的弓，我还真带了一张弓，（出示弓）我和我女儿一起做的，我女儿也上六年级。弓长，弓长，我想请大家帮我量一量这个弓到底有多长，谁来帮我？我这里有尺。（学生上台量）看懂了他是怎么量的吗？他刚才解决了一个很难的问题，你们有没有注意到？

生：尺子是直的，但弓是弯的。用直的量弯的很难。

师：把弯的东西变成了直的东西，是这样吗？好了，关于张老师的姓以及“弓有多长”的事儿，咱们就说到这儿，现在开始上课。今天要学的是圆的周长。（板书课题）

二、概念理解

师：我们前段时间学过圆，周长在三年级的时候就学过。（课件出示一个圆）那圆的周长是什么意思呢？

生：圆的长度；圆外框那条长线的长度；圆的一周。

师：这样说起来有点难懂，我想了一个办法。（课件演示圆上出现一只蚂蚁，如图1）我想让它爬行。（课件演示蚂蚁爬行一周）蚂蚁爬的这个路线的长度就是圆的周长。如果这个圆摆在你面前，你估计一下它的周长大概有多长？不好说，没有数据，是吗？给大家一个数据吧。（课件出示图2）这是个多大的圆？

生：直径为10厘米的圆。

师：直径为10厘米的圆，咱们现在先估一估它的周长有多少。（给出一个答案10厘米）大家觉得这个答案靠谱吗？为什么？

生1：小了，因为圆的周长比直径长。

师：那20厘米呢？

生2：还是短了，因为20厘米就是10厘米的两倍，还是不够。师：有没有同学能说清楚为什么两倍还是不够？生3：因为上面的一半比10厘米要大，下面的一半肯定也比10厘米大。

师：那30厘米呢？（差不多）不太好说哦，40厘米呢？为什么？

图1

图2

生4：大了。因为这个正方形的周长就是40厘米，这个圆的周长没有这个正方形的周长长。

师：也就是说我们现在能确定的是这个圆的周长比20厘米要大，比40厘米要小，是不是30厘米不太好说，对不对？（生点头）当然，如果我们硬要搞清楚它的周长是多少，可以用刚刚量弓的办法，但老是用量，不是好办法。

三、质疑验证

师：其实，古人对圆的周长是有研究的，并且还有研究的成果，想不想看一看古人的成果？（想）这有本书，名字叫做《周髀算经》，书上有一个关于圆的研究，它的研究结果是“周三径一”，你懂吗？“周”是什么？“径”是什么？“周三径一”又是什么意思？

生5：“周”是周长，“径”是直径，“周三径一”是说周长是直径的3倍。

师：古人说的“周三径一”，我们能不能把它翻译成现在的数学语言？比如，我们知道，直径用字母d表示，周长一般用C表示，这么一来，“周三径一”可以翻译成什么样子呢？

生6：C=3d。

师：C=3d，你们同不同意？你相信吗？（学生意见不一）怎么办呢？

生7：我们可以动手量一下周长。

师：就研究研究，是不是这个意思？如果要研究“周三径一”是否正确，应该如何做？同桌之间说一说，怎么就叫研究了？我们就能判断了？（同桌之间相互说）看来找到研究的方法并不是那么容易的，我们先来听听几位先找到的同学的想法，好不好？

生8：用软尺围着圆的一周量出圆的周长，再量出直径，然后除一下，看看是不是等于3。

师：你们同意她的办法吗？比如，张老师手上有一个圆，我知道它的直径是5厘米，我还做一件什么事，就能判断“周三径一”是否正确？

生9：想办法量出圆的周长。

师：（课件出示表格）假设我这里有3个圆，它的直径分别是3厘米、4厘米、5厘米，如果“周三径一”真的正确，A号圆的周长应该是多少？B呢？C呢？请同桌两人拿出你们的信封，想办法量一量，看它到底对还是不对。在研究问题的时候，尽量不要有成见，客观地记录数据。

研究“周三径一”是否正确圆直径（厘米）研究结论A 3 9若“周三径一”正确，周长应为（厘米）B 4 12实际测量得到周长为（厘米）C 5 15

学生动手操作，然后汇报。

生10：我测量的A号圆的周长是10厘米，B号圆的周长是13厘米，C号圆的周长是15厘米。

生11：我研究的A号圆的周长是9.4厘米，B号圆的周长是12.6厘米，C号圆的周长是16.7厘米。

生12：我测量的A号圆的周长是9.6厘米，B号圆的周长是12.7厘米，C号圆的周长是16.7厘米。

生13：我测量的A号圆的周长是9.5厘米，B号圆的周长是11.5厘米，C号圆的周长是14.5厘米。

师：看着这些数据，你们有什么结论？

生14：“周三径一”应该是正确的。（师质疑）因为古人的结论不是完全准的，会有一点偏差。

生15：大概古人量得不精确，跟我们量的有误差，不好说它对或者不对。

生16：我认为应该是不正确的，这里面没有一个跟它的数据是一模一样的。

师：但是有一个问题，一个不对的东西，怎么流传到了今天？2000多年了，我们还知道它，难道它一点价值都没有吗？

生17：它尽管不对，但是也差不多了。

师：差不多的话，那C=3d就不行呀，怎么改一下才好？

生17：C≈3d。

师：这样是不是好一些，也许这就是“周三径一”在《周髀算经》里本来的意思，可不可能？（生点头）“周三径一”其实就是C≈3d。如果按照这个观点，开始的那个圆的周长应该是多少？（约等于30厘米）

四、历史探寻

师：现在我们已经对“周三径一”的意义有了新的理解，那今天这个圆的周长是不是就学完了呢？

生：不是，应该还要学准确地算圆的周长。

师：是的，“约等于”那可不行。你觉得古人会不会就此罢手？一定会要继续研究！是的，有一个人就继续研究了，他叫刘徽。他将这个3改进成了3.14，采用的办法叫割圆术，想不想看看？（课件演示）这是一个正六边形，眼力好的同学应该可以看出来，这个正六边形的周长是多少？（这个正六边形的周长真的是圆直径的3倍）圆呢？圆的周长要比这个正六边形大一点。这是刘徽开始的研究，然后他不断地增加边数。你发现没有，边数越来越多，这个正多边形就越来越接近圆了。

这是正48边形，老师为什么停在这里呢？因为事实上，刘徽在割圆的时候，从正六边形割到了正48边形，然后说了“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。这是刘徽的说法，他把C≈3d改造成了C≈3.14d。那么在刘徽看来，开始的那个圆的周长是多少呢？（约等于31.4厘米）精确很多了对不对？那我们是不是就此结束？

又有一个人很厉害，知道他是谁吗？（祖冲之）祖冲之把这个结果改进到3.1415926与3.1415927之间。所以在祖冲之看来，C至少等于3.1415926d，最多不超过3.1415927d，这个结果比“周三径一”更精确了。祖冲之还发现了两个分数特别接近。如果你感兴趣，课后可以去了解。按照祖冲之的观点，我们开始那个圆的周长最多不超过31.415927厘米，最少也有31.415926厘米，这个已经很精确了，那精确到什么程度呢？让我们发挥想象力，地球是球形的，球上有一个最大的圆，比如赤道就是球上的一个最大的圆，那个圆有多大，知道吗？大概4万千米，它的直径是1.3万多千米。我们把它想象成一个标准的圆，用祖冲之的结论计算赤道的周长，你能猜想它的误差是多少吗？与准确值的差距不超过1.5米，只是你我之间的距离而已。祖冲之是不是很厉害？你说我们会不会在祖冲之这里停下来呢？当然不能，后人还进行了很多非常有价值的研究，不过非常遗憾，我们现在所学的数学知识还稍微少了点，老师没有办法跟大家一一介绍。

这个呢，是老师得到的一个新的资料，大家看看，算到了多少位呀？

2011年10月16日，日本长野县坂田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。3被改进成精确到小数点后10万亿位的小数。假设1秒读1位，一个人不分昼夜地读完这些天文般的数字要花30多万年。若将它们全部写到厚0.1毫米的纸上，每张纸上写1万位，这些纸堆起来将比10座珠穆朗玛峰还高。

我特别喜欢一张图，给大家看一下，有个人在一张纸上写出了圆周率的小数点后八百多位，挺好玩的。

五、回顾总结

师：好了，我们回顾一下圆周率的研究过程，一开始《周髀算经》说C≈3d，结果刘徽改进成了C≈3.14d，后来祖冲之把它改进成了C≈3.1415926d到3.1415927d，后来又有很多很多，对不对？但是你发现没有，这里全是“约等于”。那到底等于多少呢？这个事情已经有研究，研究的结果可能会让你失望，第一，这个数你写不完，写不完的数你见过没有？（循环小数）第二，这个数根本就不循环。那它等于什么呢？写不完又不循环，那就找个符号吧，古人也是这么做的，这个符号就是π，也就是C＝πd。C＝πd是我们今天研究的结果，是什么意思呢？圆的周长是直径的π倍。无论是大圆还是小圆，所有的圆，它的周长都是直径的π倍，换一句话说，只要我告诉你圆的直径，你就可以求出圆的周长。那如果我告诉你半径呢？

师：课到这就差不多上完了，老师想请大家课后设计两个与圆的周长有关的数学问题，一个最好是很简单的，另一个是你认为比较难的。如果你还有兴趣，设计一个超难的也可以，设计好了，把答案做出来，和同学交流。关于圆周率，数学上还有很多有意思的事儿，大家可以课后再多多了解。

设计意图：

1.关于数学史材料的使用

数学家庞加莱说，“动物学家认为动物胚胎在发育的短期内，历经其祖先进化的一切关键年代，人类思维的发展也是这样。因此，教育的职责就是创造条件，让学生的思维过程历经人类祖先之所经历，而不跳过任何阶段。教育的指南是科学史”。庞加莱的观点中涉及一个概念——历史发生原理，也有人叫重现法则。这本来是生物学中的一个概念，简单地说，即个体的发育史会重蹈种族的发展史。生物学家通过反复观察研究发现：人类从胚胎到出生的这一阶段的发育，几乎经过了哺乳动物由低级动物进化的整个历程。如果将这一规律应用到数学教育上，则人类个体学习数学的过程，在很大程度上是重现前人探索数学的历程。

波利亚持有与庞加莱相同的观点。他指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”

在小学数学中，无论是教材编写还是课堂教学，都常有数学史材料的出现。但这些材料的使用方式往往比较简单。在教材中，它们大多以补充材料的形式呈现。在课堂教学中，往往在一节课将要结束时出现，形式大多是朗读一段史料。其价值局限于了解一些趣闻，开阔一下眼界，或进行一些简单的思想教育——某某成果，中国领先世界其他国家若干年。如果将课堂教学比作一份大餐的话，数学史材料只能算是凉菜、小菜，从来不是主菜。

中国老一辈数学家余介石与倪可权在合著的《数之意义》一书中主张：“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”在本课的教学中，我们不仅渗透相关的数学史，更是基于数学史的材料，将课堂教学展开的主线与圆周率产生发展的历史线索结合起来，让学生重走了他们能走的、人类研究圆周率的关键几步。这样，把数学史材料做成了课堂教学这一大餐的主菜。学生在学习过程中，不仅了解“名师大家之遗言轶事”，更能将圆周率这一概念的发生发展“与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成”。

2.科学精神的培养

所谓科学精神，主要是指学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现，具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点。本课教学中，教师针对古人“周三径一”的说法，通过“你懂吗？”和“你相信吗？”这两个问题，引导学生从理解、质疑古人的结论“周三径一”开始进行学习与探索。当部分学生表示相信，部分学生表示不信时，教师引导学生直面这一局面，并想办法解决问题：相信，不能因为是书上写的所以信，也不能因为我感觉可能是对的所以信；不信，也不能仅仅是类似的原因。一方面是要批判、要质疑，另一方面，又要有理性思维、能言之有据。在寻找证据的探究活动中，本课较之通常也有明显的不同。在通常的探究活动中，教师往往会出示明确的探究过程，学生只需按图索骥即可。而在本课中，教师先提出问题：“如果要研究‘周三径一’是否正确，应该如何做？”讨论这样的问题，不仅是要让学生勇于探究，而且要善于探究，要掌握探究的基本方法。

（作者单位：长沙市教育科学研究院）