向量在高中数学解题中的应用分析

◆刘 恋

向量在高中数学解题中的应用分析

◆刘 恋

向量是高中阶段应用性较强的知识内容，被广泛运用于解决数学问题，是重要的解题手段，同时还能实现数学知识的有机串联，有助于数学知识的整体性构建。所以，高中学生加强对向量知识的运用学习是十分重要的。本文简要的对向量知识在实际问题解决中的应用进行分析，以期为提高高中学生的解题能。

向量；高中数学解题；应用分析

一、向量知识在线性规划问题中的应用

向量知识在线性规划问题中的应用主要是就相关向量的数量积进行分析，并把z=ax+by的目标函数用作表示平面内的向量AM=（a，b）与向量AB=（x，y）的数量积。若|AM|为固定值，则z的值为向量AN在向量AM方向的投影的常数倍，而这种情况下该投影的最值点就是最优点。

例如，在就问题“若存在z=x+4y中未知变量x、y满足以下条件，即：①x-8y＜0，②x+2y＜3，③x>1，试求出未知数z的最大值以及最小值。”进行解决时。

学生应当首先假设存在点N（x，y）是任意一点，且点M可表示为（2，4），所以z=A·AN ，根据向量数量积的几何意义能计算得出：若N（x，y）在点（2，4）处时，则z=x+4y最大值等于18；而N（x，y）在点P（2，18）时，z=x+4y的最小值等于52。

二、向量知识在几何问题解决中的应用

存在大小与方向特征的量为向量，而向量的大小则就是该向量的模。相等向量、零向量以及共线向量都是重要的向量知识点，当存在向量（a，b）（b≠0）时，则a∥b的充要条件为，有实数λ，且a=λ b。

在进行以下例题解决时，就可运用该知识点进行解决：当△AOM的顶点为A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），而点B、C、D则是AO、AM、OM线段的中点，探讨直线BC、BD、CD的方程表达式。

首先，由于三角形顶点坐标分别为A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），所以，各个中点B、C、D的坐标可表示为（1，-1）、（-32，-12）、（-12，12）。设存在点G（x，y）为直线BD上的点，由于DG∥DB，所以直线BD的方程可被求出。运用同样的方式能就直线BC、CD方程进行计算。而利用共线向量、直线向量进行问题转换，也能就BC、CD方程进行计算。

三、空间向量知识在立体几何问题中的实际应用

立体几何是高中数学课程中的重难点，空间图形较为复杂抽象，对学生的空间想象力、逻辑思维力都有较高的要求，学生学习与实际问题解决都较为困难。把向量法运用到相关立体几何问题解答中，能有效的实现复杂问题简化，提高问题解决效率。而建立相应的直角坐标系，也能有效的将立体几何问题转化成更加方便计算的代数问题，简化立体几何问题，最终快速的解决问题。

有例题为：“有正方体ABCD-A1B1C1D1，且点E为棱DD1中点，试求是否在棱C1D1上有一点M，可以让B1M与平面A1BE相互平行？并进行验证。当运用向量法进行该问题解决时，可首先以点A作为原点进行空间坐标系建立，设棱长长度为2，则点B表示为（2，0，0），点E表示为（0，2，1），点B1表示为（2，0，2）；因此BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。设平面BEA1的法向量表示为m=（x，y，z），则m·BE=-2x +2y + z =0，且m·BA1=2x+2z，若x=1，则z=-1，y=32，最终得出m=（1，32，-1）。

当棱C1D1上有点M，且B1M∥平面A1BE，假设该点M表示为（xa，2，2），（0≤xa≤2），则BM=（xa-2，2，2），所以可以求出m·BM=1×（xa -2）- 32×2-（-1）×2=0，所以计算得出xa=1，所以当M是C1D1的中点时，存在B1M∥平面A1BE。

结束语

向量是高中数学中的重要知识内容，在解决实际问题中也具有十分重要的作用，被广泛运用至高中数学中的平面几何、空间几何、三角函数以及方程不等式等多个知识内容之中。所以，学生应明确该知识内容在学习与应用中的重要性，并在这基础上充分应用向量知识解决实际问题，并进行总结与分析，切实提高自身的问题解决能力。

[1]董志茹.向量在解决高中数学问题中的应用研究[D].内蒙古师范大学,2013.

[2]朱音.例谈向量方法在高中数学解题中的应用[J].长三角(教育),2012,07:56-57.

（作者单位：湖南师范大学附属中学）