基于声辐射模态的声场重建中的测点优化方法

苏俊博, 朱海潮, 毛荣富, 郭 亮, 苏常伟

(海军工程大学 船舶振动噪声重点实验室,武汉 430033)

基于声辐射模态的声场重建中的测点优化方法

苏俊博, 朱海潮, 毛荣富, 郭 亮, 苏常伟

(海军工程大学 船舶振动噪声重点实验室,武汉 430033)

少测点条件下，利用声辐射模态理论重建声场时，测点布置方式是决定声场重建精度的一个关键因素。为求得最佳测点布置方式，提出了一种基于声辐射模态的最优测点选择方法，即基于声辐射模态矩阵的奇异值分解，采用循环迭代的方式，逐次去除对其最小奇异值最敏感的测点，从而得到了一组使重建方程条件数最小的测点。实验结果表明，利用文中提出的最优测点选择方法布置测点，能够对声场进行有效的重建，重建效果优于均匀布置方式，显著提高了声场重建精度。

声辐射模态;声场重建;测点优化

近场声全息技术自20世纪80年代由MAYNARD等[1]提出后，许多学者进行了研究，目前已经在噪声源识别与定位、声场可视化等方面取得了良好的效果。但近场声全息技术要求在全息面上布置大量测点，特别是应用于大型结构时，这限制了近场声全息技术在工程实际中的应用。因此如何减少测点数目是一个需要解决的重要问题。HELS(Helmholtz Equation-Least Squares)方法[2-4]是一种所需测点数目远少于近场声全息技术的声场重建方法，其原理是是将辐射声场表示为Helmholtz方程一组特解的线性组合，利用声场测量数据基于最小二乘法求解组合系数，然后再求解声场中的场点声压。HELS方法对类似球形声源的声场能够实现较为精确的重建，但对长宽比较大的结构声源声场难以进行有效的重建。声辐射模态理论的提出为解决少测点条件下任意结构声源的声场重建问题提供了新的途径[5-6]。

声辐射模态理论是BORGIOTTI等[7-8]学者在九十年代初提出，目前已在结构声辐射主动控制以及辐射声功率的计算方面取得了许多成果[9-13]。声辐射模态就是辐射体表面一种可能的辐射形式，任何表面法向速度或声压都可通过这些声辐射模态的线性组合来表示，利用声辐射模态进行声场重建的整个过程可分为求解模态展开系数，声场声压求解两个步骤。由此可见，声辐射模态理论与HELS方法具有相似性，但是由于声辐射模态中包含了结构表面的几何形状信息，因此声辐射模态理论适用于任意结构辐射声场的重建。而在少测点条件下利用声辐射模态进行声场重建时，测点布置方式是一个决定声场重建精度的关键问题，如果测点的位置分布不当会使各测点之间有较强的相关性，在测点较少的情况下就无法采集到足够的有效数据，从而使求解精度降低。此外，在已知测点布置方式的情况下，声辐射模态阶数的选择也对求解精度具有重要影响，这是由于利用已知测点求解模态展开系数是一个数学上的逆问题，模态阶数过少不足以表示，模态阶数过多又会使受到噪声污染的高阶模态参与到求解过程中，从而使求解精度降低。

宋艳华等[14]研究了利用声辐射模态进行声源识别时测点位置对识别效果的影响，并得出结论：测点位置分布不均匀时，识别效果较好。但没有对测点分布方式作进一步研究。KAMMER[15]提出了一种有效独立方法(Effective Independence Method, EFI)。KIM[16]将该方法用于基于边界元方法的声场重建中，在声场中选取了一组线性独立的测点，但该方法的局限性在于选取的测点数量不能少于结构表面离散的单元数。针对EFI方法的这一局限性，ZHANG[17]提出了一种基于奇异值分解的循环迭代方法。为解决利用声辐射模态重建声场时所面临的测点布置问题，本文提出了一种基于声辐射模态的最优测点选择方法。针对声辐射模态阶数选取问题，将一种基于测量的迭代方法[18]引入到重建过程中，确定了重建过程中所需选取的声辐射模态阶数。文章最后开展了双层圆柱壳体实验研究，通过与测点均匀布置方式下声场重建效果的比较，验证了本文提出的基于声辐射模态的最优测点选择方法的有效性。

1 基于声辐射模态的声场重建理论

将辐射体表面离散成一系列等面积的辐射单元，由文献[7]可知，辐射声功率可表示为

(1)

R=ΦΛΦH

(2)

式中：Φ为N×N维矩阵，Φ的列向量φi(i=1,2,…,N)即为辐射体的声辐射模态向量。

在得到了辐射体的声辐射模态以后，辐射体表面的速度向量可表示成如下形式

v=Φc

(3)

式中:c为辐射模态展开系数。假设将辐射体表面离散成N个辐射单元，并计算得到了N阶声辐射模态，由于式(3)具有良好的收敛性[14]，表面速度可用截断的声辐射模态表示为

v≈Φ(N×N1)c(N1×1)

(4)

式中:矩阵Φ(N×N1)表示只取了前N1阶声辐射模态，当辐射体表面速度向量中有N2个元素是已知的，可以得到由这N2个元素组成的方程组

v′=Φ′(N2×N1)c(N1×1)

(5)

由式(4)和式(5)可以求得表面速度向量

(6)

利用声辐射模态由少量测点声压值重建辐射体表面声压具有相同的过程。在得到了辐射体表面的声压或振速值后，就可利用边界元等方法方便地计算出整个声场分布。

2 最优测点选择方法

针对测点选择问题，文献[17]用一种基于奇异值分解的循环迭代方法，基于使辐射体表面离散点与声场中测点之间的传递函数矩阵条件数最小的准则，求得了声场中的一组测点。本文将其思想应用于基于声辐射模态的声场重建中，提出一种基于声辐射模态的最优测点选择方法。假定辐射体表面候选测点数量为N，从这N个候选测点中选取N2个作为实际布置传感器的位置。

假设辐射体表面声压向量为p0(N×1)，可用声辐射模态表示为

p0(N×1)=Φ(N×N)c(N×1)

(7)

对Φ(N×N)进行奇异值分解

Φ(N×N)=USVH

(8)

式中：S为奇异值矩阵，S对角线元素为声辐射模态矩阵Φ(N×N)的奇异值。利用式(7)、式(8)求得的模态展开系数重建辐射体表面声压pr(N×1)

pr(N×1)=Φ(N×N)c(N×1)=ΦΦ+p0=

USVHVS+UHp0(N×1)=USS+UHp0(N×1)

(9)

将找到的对最小奇异值最敏感的测点从p0(N×1)中去除，并将模态矩阵Φ(N×N)中与该测点对应的行去除，并此时式(7)变为

p0[(N-1)×1)]=Φ[(N-1)×N)c(N×1)

(10)

利用式(10)求解模态展开系数时，式(10)为一欠定方程，为使方程有解，去除模态矩阵Φ[(N-1)×N]中的最高阶模态向量，也即模态矩阵的最后一列，得到新的模态矩阵Φ1[(N-1)×(N-1)]，则式(10)变为

p01[(N-1)×1]=Φ1[(N-1)×(N-1)]c1[(N-1)×1]

(11)

然后以式(11)代替式(7)。至此，由式(7)得到式(11)并以式(11)代替式(7)的过程完成了一次循环迭代，以相同过程迭代N-N2+1次，得到如下方程

p0(N-N2)(N2×1)=Φ(N-N2)(N2×N2)c(N-N2)(N2×1)

(12)

则p0(N-N2)(N2×1)就是我们需要的N2个测点，式(12)即为由此N2个测点组成的重建方程。

由以上推导过程可知，该方法是基于模态矩阵的奇异值分解，采用了一种循环迭代的方式，逐次去除对最小奇异值最敏感的测点，直至达到要求的测点数目。经过此循环迭代过程直接得到了求解模态展开系数的方程，确保了重建方程系数矩阵的条件数最小。整个测点选择流程如图1所示。

上述介绍的最优测点选择方法同样适用于对某一频段范围内的噪声进行分析，仅需要在每一次的循环迭代过程中增加一个对角线元素求和的步骤，具体方法如下：根据式(9)可知，在每一次的循环迭代过程中，均有下式出现：

pr=Φc=ΦΦ+p0=

USVHVS+UHp0=USS+UHp0

(13)

式(13)是由表面声压重建表面声压，因此矩阵T=USS+UH为单位矩阵，T的对角线元素与辐射体表面离散测点是一一对应的关系。为得到对最小奇异值最为敏感的测点，只需将最小奇异值置零。假设分析的对象为某个频段范围内的噪声，则在此频段内均匀选取一组离散的频率点f1,f2, …fn，根据本文的最优测点选择方法得到一组矩阵T1,T2, …Tn，将每个矩阵的对应的S和S+中的最小奇异值置零，并将对应位置的对角线元素相加，得到一组新的对角线元素，则将这组新的对角线元素的最小值所对应的测点确定为此次迭代过程所要去除的测点。

图1 最优测点选择流程图Fig.1 The process ofdetermining the optimum measurement points

3 实验研究

为了验证本文提出的最优测点选择方法的有效性，在消声水池中进行了双层圆柱壳体实验。双层圆柱壳体高度为2 m，半径0.5 m，内壳厚度0.008 m，外壳厚度0.002 m，近场水听器阵列布置固定于旋转装置上，通过旋转近场水听器阵列达到测量四周近场水声的目的，近场水听器线阵由11个水听器组成，水听器间距0.22 m，线阵贴近外壳表面，距离外壳表面0.14 m，圆柱壳体内部装有激振器，采用频率为168 Hz的单频信号对圆柱壳体进行激励。图2为实验装置简图，图3为实验现场图。

图2 实验装置示意图Fig.2 The sketch of experimental device

图3 实验现场Fig.3 The scene of experiment

当近场水听器阵列以20°为步进角度旋转一周时，在圆柱全息面测得198个测点声压值，取其中66个点对这198测点进行重建，用本文提出的最优测点选择方法求得这66个测点的最优分布方式，为便于观察测点的分布情况，将圆柱面沿圆周方向展开成平面形式，如图4所示。

选取168 Hz为分析频率，当激振器工作时测得圆柱全息面声压幅值如图5所示。根据本文采用的最佳声辐射模态阶数选取方法，另外增加一组测点，根据圆柱的形状特点，另外增加的测点可选中间的一行和一列，其示意图如图6所示。正则化方法对于逆问题的求解具有非常重要的作用，本文在对圆柱全息面声压值进行重建时均采用了Tikhonov正则化方法。

图4 最优测点分布图Fig.4 The optimum distribution of measurement points

图5 圆柱全息面声压测量值Fig.5 Measurement value of the pressure on cylindrical holographic surface

图6 增加测点示意图Fig.6 The sketch of the increased measurement points

重建中选取的声辐射模态阶数与增加测点的重建误差之间的关系如图7(a)所示，选取阶数与所有测点的重建误差之间的关系如图7(b)所示。从图7(a)与图7(b)可观察到二者具有相同的变化趋势，重建误差随着选取的辐射模态阶数的增加先减小后增大，图7(a)在28阶处重建误差取得最小值14.57%，图7(b)在29阶处重建误差取得最小值13.01%，这说明将这种基于测量的迭代方法引入到基于声辐射模态的声场重建中来确定声辐射模态阶数是有效的。此处确定的重建阶数为28，其重建误差为13.2%，重建效果如图8所示。

(a) 增加测点 (b)所有测点图7 阶数选取与重建误差关系Fig.7 Relationship between number of modes and reconstruction error

图8 圆柱全息面声压重建值Fig.8 Reconstruction value of the pressure on cylindrical holographic surface

为验证本文中最优测点选择方法的有效性，在其他条件不变的情况下，采取下面两种均匀布置的方式来重建圆柱全息面声压值，布置测点数目仍为66，其布置方式如图9、图10所示。

图9 均匀布置方式1Fig.9 The firsteven arrangement

图10 均匀布置方式2Fig.10 The second even arrangement

两种布置方式条件下选取的阶数与所有测点的重建误差之间的关系如图11所示，从图11中可知，均匀布置方式1条件下，重建误差在46阶处取得最小值64.32%，均匀布置方式2条件下，重建误差在34阶处取得最小值23.22%，重建效果如图12所示。三种布置方式下圆柱全息面声压值重建误差如表1所示。由图11、12及表1可以看出，测点分布方式对最终的重建结果具有非常重要的影响，当测点按均匀布置方式1布置时，重建误差达到64.32%，重建已经失效；当测点按本文提出的方法进行布置时，重建误差仅为13.20%，优于另外两种均匀布置方式。对比结果表明，利用本文提出的最优测点选择方法布置测点，能够对复杂结构声场进行有效的重建，提高了声场重建精度。

(a) 均匀布置方式1 (b) 均匀布置方式2图11 阶数选取与重建误差关系Fig.11 Relationship between number of modes and reconstruction error

(a) 均匀布置方式1 (b) 均匀布置方式2图12 圆柱全息面声压重建值Fig.12 Reconstruction value of the pressure on cylindrical holographic surface

最优布置方式均匀布置方式1均匀布置方式213．20%64．32%23．22%

上述过程利用全息测量面部分测点声压值重建了圆柱全息面所有测点的声压值，重建误差在工程实际可接受范围内，取得了较为理想的效果。求得圆柱全息面声压值后进而可以求解出声场中任意一点的声压值，此计算过程本文不再叙述。

4 结 论

研究结果表明，利用声辐射模态理论由辐射体表面少量测点重建声场时，测点布置方式是决定声场重建精度的一个关键因素。基于重建方程条件数最小准则，本文提出了一种基于声辐射模态的最优测点选择方法，利用该方法布置测点，能够对声场进行有效的重建，重建效果优于均匀布置方式，声场重建精度明显提高，并为实验验证。

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Optimization of measurement points in reconstruction of acoustic fieldbased on acoustic radiation modes

SU Junbo, ZHU Haihao, MAO Rongfu, GUO Liang, SU Changwei

(National Key Laboratory on Ship Vibration & Noise, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

For an acoustic field reconstruction using the acoustic radiation mode theory, the distribution of measurement points is a key factor, especially, when the number of measurement points is small. In order to determine the optimal arrangement of measurement points, a method based on acoustic radiation modes was proposed. A loop iteration process was adopted in this proposed method. Singular value decomposition (SVD) of the matrix of acoustic radiation modes was employed in each loop iteration, and the measurement point that was the most sensitive to the minimum singular value was removed. Finally, those points that minimize the condition number of reconstruction equations were obtained. Furthermore, compared with the situation when measurement points distribute evenly, the test results showed that the acoustic field of sound sources can be reconstructed effectively and the precision of reconstruction is much better when measurement points distribute according to their optimal arrangement obtained with the proposed method.

acoustic radiation modes; acoustic field reconstruction; optimal arrangement of measurement points

国家自然科学基金(51305452)

2015-09-28 修改稿收到日期：2016-01-14

苏俊博 男，博士生，1985年生

朱海潮 男，教授，博士生导师，1963年生

O423;O429

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.023