基于VMD的自适应形态学在轴承故障诊断中的应用

钱 林， 康 敏,2， 傅秀清， 王兴盛， 费秀国

(1.南京农业大学 工学院，南京 210031；2. 南京农业大学 灌云现代农业装备研究院，江苏 灌云 222200；3.南京创力传动机械有限公司，南京 211122)

基于VMD的自适应形态学在轴承故障诊断中的应用

钱 林1， 康 敏1,2， 傅秀清1， 王兴盛1， 费秀国3

(1.南京农业大学 工学院，南京 210031；2. 南京农业大学 灌云现代农业装备研究院，江苏 灌云 222200；3.南京创力传动机械有限公司，南京 211122)

为有效提取滚动轴承信号的特征频率，提出了基于变分模态分解(VMD)的自适应形态学的特征提取方法。首先利用VMD将目标信号分解为有限个模态信号，依据互信息法提取与原始信号相关的模态信号，将其进行求和重构；然后利用形态学对重构信号进行降噪处理，提取出滚动轴承的特征频率。针对形态学固有统计偏移和结构元素的选择问题，利用粒子群算法来优化改进的广义形态学滤波器，实现自适应滤波。通过数字仿真实验与滚动轴承故障试验分析，将其与基于经验模式分解(EMD)的自适应形态学、包络解调方法进行比较，结果表明该方法可以有效提取故障信号的特征频率。

轴承；变分模态分解；数学形态学；粒子群算法；互信息法

滚动轴承在旋转机械设备中承担关键角色，其健康状况影响着整个机械系统的工作状态，因此对轴承的监测与诊断具有十分重要的意义[1]。当轴承出现故障时，会产生周期性的脉冲信号，同时产生相应的调制信号，不同的故障对应不同的故障频率，如何有效地提取出故障特征频率，是进行轴承故障诊断的关键性问题。从机械设备现场采集的振动信号往往具有非线性、非平稳特征，信号中存在较强的窄带脉冲干扰和随机信号，大量的窄带脉冲干扰会淹没故障特征信号，严重影响了故障特征信号的识别。

目前，常见的非线性、非平稳处理方法有：小波变换、形态学滤波、Hilbert-Huang变换、经验模式分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)、总体经验模式分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)等。胥永刚等[2]利用双树复小波包变换进行了滚动轴承的故障特征提取；王建国等[3]提出了自相关分析与局部均值分解(Local Mean Decomposition，LMD)相结合的滚动轴承故障诊断方法；唐贵基等[4]将EEMD降噪和1.5维能量谱相结合进行滚动轴承的故障诊断；郝如江等[5]利用形态滤波器对轴承故障信号进行了提取。上述方法在轴承故障信号提取中都得到了良好的效果，但均具有各自的局限性。小波变换可以有效抑制白噪声，但是抑制脉冲干扰能力不强；LMD存在迭代计算量大、频率混淆、端点效应等问题；数学形态学具有很强的抑制脉冲干扰的能力，算法简单可行，但存在故有统计偏移问题和最佳结构元素的选择问题。EMD[6]是分析非平稳信号和非线性信号强有力的工具，但是存在缺乏严格的数学基础、算法效率低、模态混叠问题。EEMD[7]是在EMD基础上的改进算法，能有效抑制模态混叠现象，但是算法效率低。因此，本文提出了基于变分模态分解(Variational Mode Decomposition， VMD)的形态学故障特征提取方法。

针对形态学滤波存在的问题，本文采用改进的广义形态学进行滤波处理，利用粒子群算法来优化形态学算子的权值和结构元素的长度实现自适应滤波处理。为了克服EMD的不足，提出利用VMD将目标信号分解为有限个模态信号，根据互信息法提取与原始信号相关的模态信号，将其进行求和重构，然后对重构信号进行自适应形态学滤波，最后提取出滚动轴承的特征频率。

1 自适应形态学滤波

数学形态学[8]是基于积分几何和随机集的不同于时域、频域分析的非线性方法，该方法具有很强的抑制脉冲干扰的能力。其基本思想是利用结构元素探针在信号中不断移动来提取有用信息。

1.1 形态学滤波原理

腐蚀和膨胀两种算子是数学形态学的基本运算。设采样得到的一维多值信号f(n)定义域为F={0,1,2,…，N-1}，一维结构元素序列g(n)的定义域为G={0,1,2,…，M-1}，其中N和M都是整数，且N>M。

f(n)关于g(n)的膨胀定义[9]为：

(f⊕g)(n)=max[f(n-m)+g(n)]

(1)

f(n)关于g(n)的腐蚀定义为：

(fΘg)(n)=max[f(n+m)-g(n)]

(2)

f(n)关于g(n)的开运算定义为：

(f○g)(n)=(fΘg⊕g)(n)

(3)

f(n)关于g(n)的闭运算定义为：

(f•g)(n)=(f⊕gΘg)(n)

(4)

式中:m∈0，1，2，…，M-1。

数学形态学的腐蚀运算抑制正冲击，平滑负冲击；膨胀运算可以平滑正冲击，抑制负冲击；开运算用于滤除信号上方的峰值噪声，去除信号边缘的毛刺；闭运算用于平滑或抑制信号下方的波谷噪声，填补信号的漏洞和裂纹。

为了同时消除信号中的正负冲击，对信号起到平滑作用，有效地抑制信号中的各种噪声，通常采用级联开、闭运算，构造开-闭和闭-开组合形态滤波器。而形态差值滤波器则可以提取正负冲击成分[9]。形态开-闭、形态闭-开和级联组合滤波器分别定义为：

FOC=(f○g•g)(n)

(5)

FCO=(f•g○g)(n)

(6)

(7)

1.2 自适应广义形态学滤波

对于使用单一结构元素的传统组合滤波器，在形态开-闭运算中，先进行的开运算在滤除正脉冲噪声的同时，会增强负脉冲噪声，如果再用相同长度的结构元素进行闭运算，就不能有效滤除全部负脉冲噪声，对于闭-开滤波器也是同样的道理，故现已提出了广义形态开-闭和闭-开滤波器[10]：

FOC=(f○g1•g2)(n)

(8)

FCO=(f•g1○g2)(n)

(9)

式中:g1和g2分别为两个不同的结构元素。由于传统组合滤波器存在固有的统计偏移问题，在广义形态开-闭和闭-开滤波器的基础上分别增加一个权值，可以实现自适应调整，改进的广义形态学滤波器定义为：

y(n)=α1FOC+α2FCO

(10)

式中:α1和α2为权值。

结构元素是形态学运算中的另一个重要的基本算子，结构元素的选择对信号处理的结果有很大的影响，它的选择在于其形状和尺寸的确定。常用的结构元素主要有直线、三角形、半圆形和曲线等。结构元素越简单，计算量越小，结构元素的形状越接近处理信号的特征形状，滤波效果越显著[11]。结构元素的长度应该大于噪声的长度而小于信号中有用波的最小周期长度，这样才能有效的对信号进行降噪处理。在进行形态学滤波处理时，其结构元素长度往往是由人为设定的。在噪声信号长度未知的情况下，人为选择结构元素的最佳长度存在一定的难度。

本文利用粒子群算法来自动寻求最优的结构元素长度以及α1和α2的最佳权值，实现快速自适应滤波。

文献[12]对形态学滤波中结构元素的选取进行了研究，发现余弦结构和半圆形结构能够很好地滤除随机背景噪声与脉冲噪声干扰。考虑到计算量和提取效果，本文选择形状简单的半圆形结构元素。

半圆形结构元素的长度由其半径R来定义，采用粒子群算法寻求两个结构元素的长度R1和R2、权值α1和α2的最优解。以滤波后信号的信噪比为适应度函数，信噪比越大则说明滤波效果越好。适应度函数如公式(11)所示，P0为原始信号功率，Ps为噪音信号功率，Y即为信号的信噪比。

(11)

粒子群算法优化形态学滤波器的步骤为：

(1)初始化每个粒子的位置和速度，位置信息包括两个半圆形结构元素半径R1、R2以及权值α1和α2等四个元素，速度为对应元素的更新步长。结构长度范围为[1,40]，权值范围为[0,1]，其中长度值向上取整；

(2)以形态学滤波后的信噪比为适应度函数，如公式(11)所示，计算初始群体的适应度值；

(3)比较粒子个体与种群的适应度值，粒子中信噪比值最大的粒子为个体最优值，种群中信噪比最大的粒子为种群最优值；

(4)通过速度和位置更新公式(分别如式(12)和(13)所示)更新粒子位置和速度，其中结构元素的长度值向上取整；

vid(t+1)=ωvid(t)+c1r1(pid-xid(t))+

c2r2(pgd-xid(t))

(12)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)

(13)

式中:ω为惯性权重；t为迭代步数；c1和c2为加速常数，一般都取为常数2；r1和r2为服从[0,1]之间的随机数；pid为个体最优值，pgd为群体最优值；xid为第i个粒子的位置，vid为第i个粒子的速度。

(5)计算新种群的适应度函数值，通过与前一步中的个体和种群最优值进行比较，更新个体和种群最优值。判断新种群是否达到终止条件，达到则执行步骤(6)，否则继续执行步骤(4)；

(6)退出迭代优化，输出R1、R2、α1和α2的全局最优解值。

2 变分模态分解

VMD[13]是DRAGOMIRETSKIY最近提出的一种完全非递归、自适应的信号处理方法，通过迭代搜寻变分模型最优解来确定每个分量的频率中心及带宽，从而能够自适应地实现信号频域的有效分离。该方法的整体结构是变分问题，使得每个模态的估计带宽之和最小。其中假设每个模态是具有不同中心频率的有限带宽，为解决这一变分问题，采用了交替方向乘子法，不断更新各模态及其中心频率，逐步将各模态解调到相应的基频带，最终提取出各个模态及相应的中心频率。

2.1 变分模态分解基本原理

VMD是以经典维纳滤波、希尔伯特变换和频率混合这三个概念为基础的变分问题求解方法。VMD可以将一个实际信号f分解成K个离散的模态uk(k∈1，2，…，K)，uk在频域中的带宽都具有特定的稀疏属性。具体求解步骤如下：

(1)对于每一个模态，通过Hilbert变换计算与各个模态相关的解析信号，可以得到其单边频谱：

(14)

(2)通过在每个模态中加入指数项来调整各自估计的中心频率，把每个模态的频谱调制到相应的基带上：

(15)

(3)每个模态都能紧密地围绕在中心脉冲频率ωk附近，ωk的带宽由以上解调信号的H1高斯平滑度来估算，这样就可以得到一个受约束的变分问题[14]：

(17)

式中:f为原始信号，uk为模态函数，ωk为各个模态的中心频率。

(4)在此基础上，使用二次惩罚因子法和拉格朗日乘子法使其转换成无约束变分问题。二次惩罚因子可在高噪声存在的情况下保证信号的重构精度，拉格朗日乘子使得约束条件保持严格性，增广Lagrange表达式如下：

L(uk,ωk,λ)=

式中:α是惩罚因子，λ为拉格朗日因子。

其中ukn+1可以表述为：

(19)

通过Parseval/Plancherel傅里叶等距变换转换到频域：

(20)

通过ω=ω-ωk进行变量代换，然后将其转换为非负频率区间积分形式，最终求解ukn+1的更新表达式为：

同样的过程，可以求得ωkn+1的更新表达式为：

(22)

2.2 变分模态分解的算法流程

(2)n=n+1，开始整个算法的循环；

(3)根据表达式(21)和(22)更新uk和ωk，其中k从1开始一直循环到K，K为确定的模态分解个数；

(4)更新λ：

(23)

(5)给定判定精度e>0，若满足判定表达式：

(24)

则迭代终止，否则返回步骤(2)。

从算法流程可以看出，VMD是在频域中实现不断更新，最终通过傅里叶逆变换转化到时域。与EMD方法相比，VMD具有严格的数学模型和坚实的理论基础，其实质是多个自适应维纳滤波组，表现出更好的噪声鲁棒性。VMD可以精确地分解各种谐波，并且无需考虑谐波之间的相对幅值和各自中心频率的距离。

文献[14]通过简单的仿真信号将EMD、EEMD、VMD等方法进行比较，发现与EMD和EEMD相比，VMD方法的分解精度高，分解层数少，且不存在模态混叠现象。若将其应用在一维振动信号分析中，可以精确地将信号中的各个频率成分分解出来，便于故障频率的提取与识别。

3 基于VMD的自适应形态学

VMD是一种类似于EMD的非线性、非平稳信号处理方法，比EMD具有更强的抗噪性，且运行效率更高。VMD将信号分解为频率由低到高的一系列固有模态分量(设为VIMF)，选取有效分量进行重构可以实现降噪的效果。

传统采用相关系数法进行有效模态的选取，而相关系数仅能反映变量间的线性相关程度，无法表述非线性关系。互信息法是衡量一个变量携带另一个变量的测度，能够定量地表示两个随机变量之间的相互依赖程度，且比相关系数法更加精确，所以本文采用互信息法进行有效模态的选取。计算各模态与原信号的互信息MIi，并做归一化处理

(25)

(26)

若λi大于λm，则认为该分量为有效分量，否则予以剔除。

VMD的抗噪性较好，但是滤除脉冲干扰的能力不及形态学滤波器。形态学滤波器具有较强的滤除脉冲噪声能力，但是针对白噪声的降噪能力不足。所以将两者结合起来可以同时滤除白噪声与脉冲噪声干扰。在经过VMD降噪的基础上，利用改进的自适应广义形态学滤波器将降噪后的振动信号进一步进行降噪处理，最终提取出脉冲干扰信息。通过粒子群算法优化改进的广义形态学滤波器，能够迅速的选择最优滤波参数，从而达到良好的降噪效果，故障特征提取的具体流程,如图1所示。

图1 故障特征提取流程图Fig.1 Feature extraction flow diagram

4 仿真试验

为了验证本文方法的有效性，利用式(27)所示的仿真信号进行试验。

y(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)

(27)

x1(t)=(1+cos(π·100·t))·sin(300·π·t)+

(28)

x1(t)为谐波信号，谐波频率分别为150 Hz和350 Hz，且150 Hz附近伴有50 Hz的调制频率；x2(t)为20 Hz的周期性衰减信号，周期冲击函数为0.8e-20×sin(20·π·t)；n(t)为标准差为-5的高斯白噪声信号。设采样频率为2 000 Hz，采样时间为1 s。仿真信号的时域波形与频谱如图2所示。首先利用VMD对信号进行降噪处理，处理后的频谱图如图3所示。从图3中可以看出高斯白噪声已经被大量滤除，主频幅值得到提高，且已经可以发现脉冲频率20 Hz的存在。在VMD的基础上进行自适应形态滤波，提取的特征,如图4所示。

图2 仿真信号及其频谱Fig.2 Waveform and spectrum of simulated signal

图3 经过VMD处理后的频谱Fig.3 Spectrum of simulated signal processing by VMD

图4 信号经VMD自适应形态学处理后的结果Fig.4 Signal processing by VMD adaptive morphological method

图5 仿真信号经VMD和包络解调处理后的结果Fig.5 Simulated signal processing by VMD and envelope demodulation

从图4中可以看出，脉冲频率20 Hz与调制频率50 Hz及其倍频被成功地提取出来，成功抑制了谐波频率与白噪声。图5为仿真信号经过VMD与包络解调处理后的结果，从图中可以发现调制频率50 Hz及其倍频的存在，但是脉冲频率20 Hz被噪声信号淹没。通过对比可以发现本文方法能够有效地提取出信号特征频率，且能有效抑制白噪声。

5 基于VMD的自适应形态学在滚动轴承故障诊断中的应用

以滚动轴承为研究对象，分别对轴承外圈和内圈故障的振动信号进行处理，验证本方法的有效性。本文采用莱克斯诺公司的ZA-2115型号的轴承进行故障实验，轴承的结构参数如表1所示。轴承转速为2 000 r/min，采样频率为20 kHz，分析数据点数为4 096。通过计算可以得出轴承的外圈故障频率为236.4 Hz，内圈故障频率为296.93 Hz。

表1 滚动轴承参数

图6为该轴承外圈故障信号的时域波形及频域图，由于混入严重的噪声信号，频域图中的高频成分很多，很难识别出故障频率。对外圈故障信号进行VMD降噪与自适应形态学处理。由于信号分析频率为10 kHz，考虑到特征频率范围和计算效率，选择分解层数为4层，轴承外圈故障信号经VMD分解后如图7(a)所示。计算各模态与原信号之间的互信息，互信息归一化后结果如表2所示。基于互信息结果选取模态进行重构，降噪后信号的频谱图如图7(b)所示，由图可知，信号中大部分的低频与高频干扰被滤除。在VMD降噪的基础上对信号进行自适应形态学处理。设定粒子群规模为20，迭代步数为300，初始化结构元素的长度为[1,40]之间的整数，以步长为1或2设为初始速度；初始权值为[0,1]之间的随机数，初始速度为[-1,1]之间的随机数。经自适应形态学处理的结果如图7(c)所示。

图7(d)与7(e)中分别为外圈故障信号经基于EMD自适应形态学与传统的包络解调方法处理后的结果。通过对比可以看出，经基于VMD的自适应形态学处理的效果明显要优于其他两种方法。经基于VMD的自适应形态学处理能够提取出更多的倍频信息，且主频幅值都高于其他两种方法。相对于传统的包络解调分析方法，其提取结果中干扰分量少，从而验证了本方法的有效性。

表2 各模态与原信号的互信息

图6 外圈故障信号及其频谱Fig.5 Outer race fault signal and its spectrum

(a) VMD4层分解结果

(b) 经VMD降噪后的频谱图

(c) 经VMD自适应形态学处理后的结果

(d) 经EMD自适应形态学处理后的结果

(e) 经包络解调技术处理后的结果图7 外圈故障信号处理后的结果Fig.7 Processing results of outer race fault signal

进一步利用轴承内圈故障信号进行分析，外圈故障信号的时域波形及频谱如图8所示。图9(a)、9(b)和图9(c)分别为内圈故障信号经基于VMD自适应形态学、基于EMD的自适应形态学与包络解调处理后的结果。通过对比可以发现，图9(a)的提取效果明显优于其他两种方法。基于VMD的自适应形态学可以提取出更多的倍频成分，主频幅值都要高于其他两种方法，且轴承转频及倍频分量也都体现出来。而基于EMD的自适应形态学与包络解调分析方法提取出的倍频成分被其他干扰成分覆盖，从而验证了本方法的有效性。

图8 内圈故障信号及其频谱Fig.8 Inner race fault signal and its spectrum

(a) 经VMD自适应形态学处理后的结果

(b) 经EMD自适应形态学处理后的结果

(c) 经包络解调处理后的结果图9 内圈故障信号处理后的结果Fig.9 Inner race fault signal processing results

6 结 论

针对振动信号中存在较强的脉冲干扰和随机噪声信号，提出基于变分模式分解的自适应形态学故障特征提取方法。将其应用在滚动轴承内、外圈故障实验中，结果表明该方法可以有效提取故障特征。结论如下：

(1)针对形态学故有统计偏移和结构元素的选择问题，利用粒子群算法来优化结构元素和权值，可以实现自适应寻求最优解，实现快速、自适应滤波。

(2)VMD具有较高的分解精度，且分解层数少，可以有效提高分解效率，能有效滤除信号中的白噪声。

(3)基于VMD的自适应形态学方法可以有效地、精确地提取滚动轴承的故障特征，且提取效果优于基于EMD的自适应形态学和传统的包络解调方法。

VMD作为一种最新被提出的完全非递归、自适应信号分解方法，克服了EMD缺乏严格的数学基础、算法效率低、存在模态混叠问题等不足，在信号处理分析领域具有广阔的应用前景。

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Application of adaptivemorphology in bearing fault diagnosis based on VMD

QIAN Lin1, KANG Min1,2, FU Xiuqing1, WANG Xingsheng1, FEI Xiuguo3

(1. College of Engineering, Nanjing Agriculture University, Nanjing 210031, China;2. Guanyun Research Institute for Modern Agricultural Equipment, Jiangsu 222200, China;3. Nanjing ChuangLi Transmission Machinery Co., Ltd. Nanjing 211122, China)

To effectively extract characteristic frequencies of rolling bearing vibration signals, the adaptive morphology was proposed based on variational mode decomposition (VMD). VMD was used to decompose a target signal into finite modal signals firstly. Then the modal signals related to the original signal were extracted based on the mutual information method, and they were summed to reconstruct a signal. The morphologic filter was used to reduce noise from the reconstructed signal, and the rolling bearing fault feature frequencies were extracted. Aiming at problems of morphologic structural element selection and the inherent statistical deviation, the particle swarm optimization was used to adoptively optimize the improved generalized morphological filter to realize adaptive filtering. Through digital simulation test and rolling bearing fault tests, the method was compared with the adaptive morphology based on EMD and the envelope demodulation method. The results showed that this method can extract fault characteristic frequencies of rolling bearings effectively.

bearing; variational mode decomposition (VMD); mathematical morphology; particle swarm optimization; mutual information method

江苏省政策引导类计划前瞻性研究项目(BY2015071-02)

2015-10-09 修改稿收到日期：2015-12-23

钱林 男，硕士生，1990年10月生

康敏 男，博士，教授，博士生导师，1965年7月生

TH165.3；TH133.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.036