阻尼器支架刚度对悬索桥吊索减振效果影响的数值研究

李寿英+王世峰+陈政清

摘 要：采用数值方法，研究了阻尼器支架刚度对悬索桥吊索减振效果的影响.首先，将阻尼器支架简化为弹簧振子模型，建立了吊索阻尼器支架系统的自由振动偏微分方程组.其次，对不连续的狄拉克函数进行近似处理，采用有限差分方法对该方程进行数值离散求解，研究了阻尼器支架刚度对无量纲阻尼比曲线、可实现的最优阻尼比及其对应的最优阻尼系数等的影响，研究了阻尼器支架模态质量的影响，并与相关文献结果进行比较.研究结果表明，随着阻尼器支架刚度的减小，能实现的最优阻尼比减小，对应的最优阻尼系数也减小，会影响阻尼器效率；另外，各阶模态的无量纲阻尼比曲线不一致，不能采用统一的无量纲阻尼比曲线来设计阻尼器参数；阻尼器支架的模态质量对阻尼器效率影响很小.

关键词：悬索桥吊索；阻尼器；支架刚度；阻尼

中图分类号：TU973.3 文献标志码：A

大跨缆索承重桥梁中的索结构，属于细长结构，阻尼小、质量轻、频率低，极易在风荷载或是桥面激励的作用下发生大幅振动，如风雨激振[1-2]、涡激共振[3]、尾流弛振[4]和参数共振等，严重影响索结构甚至桥梁整体结构的安全.多座悬索桥的吊索，如日本明石海峡大桥、丹麦大海带东桥和中国西堠门大桥[5]等，都出现了严重的风致振动.研究人员采用各种控制措施对索结构振动进行控制，主要包括空气动力学措施[6-7]和机械控制措施[8]，在索结构端部安装阻尼器就是最为常用的一种[8].

很多学者对索结构端部安装阻尼器的控制效果进行过研究.Kovacs[9]在张紧弦阻尼器系统的基础上，对系统的最优模态阻尼比及其相应的最优阻尼器阻尼系数做了近似研究；Pacheco和Fujino[10]运用Galerkin方法对水平紧张弦阻尼器系统进行离散，分别以无量纲的模态阻尼比和无量纲的阻尼器阻尼系数作为横、纵坐标，得到了一条“统一近似曲线”，明确地给出了系统阻尼比与阻尼器阻尼系数的关系，这一关系在之后的索结构阻尼器设置中得到了广泛的应用；Krenk[11]也以张紧弦模型为基础，推导出“统一近似曲线”的解析式.以上述研究为理论基础，阻尼器在实际的拉索振动控制中得到了广泛的应用，王修勇和陈政清等[12]通过数值仿真和现场试验评估了磁流变阻尼器对斜拉桥风雨激振的减振性能；李寿英和顾明等[13]研究了阻尼器对斜拉桥风雨激振的减振效果.实际上，在桥梁上安装阻尼器时，阻尼器效率受到多种因素的制约，如阻尼器支架刚度、阻尼器刚度及其非线性特性等，周亚刚和孙利民[14]以斜拉索三单元Maxwell阻尼器系统为基础，研究阻尼器支架刚度、阻尼器刚度等对控制效率的影响.

斜拉桥拉索斜向布置，较低的阻尼器安装位置即可获得较大的模态阻尼比.与此不同的是，悬索桥吊索竖向布置，为实现较大的模态阻尼比，阻尼器支架应设置较高，其刚度可能会对阻尼器的控制效率产生较大的影响.基于此，本文以弹簧和质量振子分别模拟阻尼器支架刚度和模态质量，建立了吊索阻尼器支架系统的运动微分方程，采用有限差分方法，对该系统进行了自由振动分析，研究了阻尼器支架刚度对悬索桥吊索振动控制效率的影响，并与已有文献成果进行了比较研究.

1 吊索阻尼器支架系统的运动方程

吊索阻尼器支架系统如图1所示.该模型将拉索简化为张紧弦，将支架简化成弹簧振子体系.其中拉索张力为T，长度为L，单位长度质量为M，单位长度上内阻尼系数为cl；阻尼器位于离拉索端部xc处，阻尼器阻尼系数为c；支架模态质量为mz，刚度为kz.为减少篇幅，

尼比小于0.50，且各阶模态的无量纲阻尼比曲线不重合，如kz=5×105 N/m时第1，2，3阶模态的最优无量纲阻尼比分别为0.30，0.24，0.18；kz=1×106时第1，2，3阶最优无量纲阻尼比分别为0.34，0.37，0.38.另外，从图4（a）和（b）还可以看出，当刚度比较小时，低阶模态的最优阻尼比要大于高阶模态的最优阻尼比，并且刚度越小差异越大.

图4给出了不同刚度下的一阶模态无量纲阻尼比曲线.从图4中可以看出，当支架刚度系数分别为kz=5×105 N/m，1×106 N/m，5×106 N/m，1×107 N/m以及∞时，一阶模态最优无量纲阻尼比分别为0.30，0.38，0.48，0.51和0.52，对应的最优无量纲阻尼系数分别为0.055，0.075，0.085，0.095，0.100.也就是说，随支架刚度的增大，最优模态阻尼比逐渐增大，最优阻尼器阻尼系数也逐渐增大，这与周亚刚和孙利民[14]的结论相同.

周亚刚和孙利民[14]采用无量纲阻尼系数η=c/TM和支架无量纲柔度系数f=T/kzxc来绘制无量纲阻尼比曲线，其横坐标为ηixc/L（图3横坐标c/MLω01·i·xc/L的1/π倍），纵坐标为ξi/xc/L（与图3纵坐标同）.图5给出了支架无量纲柔度系数分别为f=0，f=0.05，f=0.1，f=1时的无量纲阻尼比曲线（对应刚度值分别为：kz=∞，kz=3.54×106 N/m，kz=1.77×106 N/m，kz=1.77×105 N/m），包括本文结果和文献[14]结果.从图5（a）中可以看出，可实现的最大无量纲阻尼比分别为0.52，0.48，0.43和0.175，对应的文献[14]的结果分别为0.50，0.485，0.45和0.25.当支架柔度很小（刚度很大）时，本文结果与文献[14]的结果较为接近；当支架柔度较大时，两者结果相差较大.这主要是因为文献[14]中的近似解析方法忽略了波数的微小摄动项，并假设xc/L趋于零.从总体上来说，本文和文献[14]结果吻合较好.

[c/（MLω01）]i（xc/L）

3.2 最优无量纲阻尼比

从图6中可以看出，能实现的最优阻尼比随支架刚度的增大而增大，同时曲线斜率不断减小，并且前三阶模态下三条曲线基本重合（小刚度情况下稍有差异）.图4中可以看出理想状态下（kz→∞）能实现的最大无量纲阻尼比為0.52.因此可以推断图6中曲线的渐近线为ξMAX/xc/L=0.52.可以看出，当支架刚度增大到一定值以后，能实现的最大阻尼比增加量很小，所以一味增加支架刚度势必会增加成本，这一点在支架设计时应予以考虑.

3.3 最優无量纲阻尼系数

该曲线变化规律与

3.4 支架模态质量的影响

本文模型考虑了支架的模态质量.图8和图9分别给出了不同支架模态质量下最优无量纲阻尼比及其对应的最优无量纲阻尼系数随支架刚度的变化曲线.从图8和图9中可以看出，支架模态质量对可实现的最优阻尼比及其对应的最优阻尼器阻尼系数的影响很小，在实际设计中，支架质量可以不予考虑.

3.5 算 例

图10给出了国内某桥上阻尼器钢结构支架的示意图，通过两块钢板焊接而成，截面自下而上收缩.以前述某桥吊索为例，阻尼器支架高度1.8 m，竖向设置，该支架刚度kz=2.8×106 N/m，无量纲刚度为kzxcT=13.58，对应的最大无量纲阻尼比为ξMAXxc/L=0.45，为理想状态下的87%.从图11中可以看出，理想情况下最优无量纲阻尼比所对应的最优无量纲阻尼系数与实际情况下的最优无量纲阻尼系数并不相等，所以在实际设计中，如果按照理想状态下的曲线来确定阻尼器的阻尼系数，实际得到的阻尼比为0.43，为理想状态下的83%.如需对多阶模态同时达到较好的效果，可实现的阻尼比还会进一步降低.

4 主要结论

建立了吊索阻尼器支架系统的运动微分方程，采用有限差分方法，对该系统进行了自由振动分析，得到如下主要结论：

1）阻尼器支架刚度较小时，可实现的最优无量纲阻尼比远小于0.5，且各阶模态的无量纲阻尼比曲线不一致，不能采用统一的无量纲阻尼比曲线来设计阻尼器参数.

2）随着阻尼器支架刚度的减小，能实现的最优阻尼比减小，最优阻尼系数也减小，严重影响阻尼器效率.

3）阻尼器支架的模态质量对阻尼器效率影响很小.

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