笛卡尔普遍数学的逻辑哲思

【摘要】笛卡尔认为哲学思维是普遍的，能够将所有学科统一于哲学，而实现知识大一统的关键在于数学。既然哲学能够统一所有子学科的关键在于普遍数学，那么就需要进一步辨析数学普遍性的基石，也即数学的基础。但是所谓的普遍数学并不一定如其所言完完全全具备必然有效性。既然普遍数学的方法并不可信，那么笛卡尔借由普遍数学方法构建整个知识大厦也不可能实现，因为这个统一所有学科知识的大一统体系同样无法回答有限如何达到无限的诘难。

【关键词】笛卡尔；普遍数学；数理逻辑；有限无限

一、引言

笛卡尔不仅仅是个伟大的哲学家，也是个伟大的数学家，他的哲学思想带有浓厚的数学思维印记。在笛卡尔的哲学体系里，数学思维举足轻重，甚至可以认为，他将哲学思维数学化，同时也将数学思想纳入了他的哲学大一统体系。笛卡尔认为哲学思维是普遍的，能够将所有学科统一于哲学，而实现知识大一统的关键在于数学，在于数学也像哲学一样具有普遍性。

在笛卡尔的哲学系统里，数学的普遍性在于数学方法的普遍适用，数学能够运用于所有学科，并且能够产生必然有效的真知识。既然哲学能够统一所有子学科的关键在于普遍数学，那么就需要进一步辨析数学普遍性的基石，也即数学的基础，对数学进行逻辑思考。研究数学基础的途径是数理逻辑，数理逻辑研究的是数学的逻辑基石。

二、本体论到认识论的转换

笛卡尔是近代哲学之父。在笛卡尔之前，哲学的发展停留在本体论阶段，本体论思维阶段的哲学着重探讨的是宇宙人生的本质。本体论哲学严格区分了两个世界——本体世界与现象世界，本体世界是现象世界的依据，现象世界变化依据本体世界的规律。本体世界是规律的领域，规律的领域就是逻各斯的领域，逻各斯是古代本体论思维哲学家追求的超验本体。逻各斯表现在两个方面，一方面是世界本身具备规律性，即是万事万物都具有规律性，一切事物的变化运动都有原因都依据必然的规律，另一方面是人的思维也具有理性，人具备逻各斯的精神，人的理性能够认识藏身经验世界背后的规律。

对逻各斯的求索是哲学的终极目的。哲学能够统一所有分支学科的依据是哲学对逻各斯的紧紧把握。古代本体论哲学家虽然有志于认识逻各斯，却不知道认识逻各斯的途径，于是哲学发展到近代，开启了认识论哲学时代。笛卡尔是近代哲学之父，他是第一个让哲学本体论思维方式接受哲学认识论思维模式批判的哲学家，他以主客二元对立的思维方法考察逻各斯的存在。笛卡尔认识论哲学脱胎于古代本体论哲学，认识论哲学与本体论哲学一样也是求索逻各斯，求索普遍规律，构建涵盖所有知识分支的学术大一统体系，进而掌控世间一切。

三、哲学大一统体系

大哲学家往往都有将所有知识统一于哲学的倾向，笛卡尔自然也不例外，他也想将哲学打造成终极学问，其他学问统统是大哲学的分支。在笛卡尔的哲学大一统体系里，哲学好似一棵枝繁叶茂的参天大树，一棵树大根深的知识大树，树根是形而上学，形而上学作为知识树的树根为其他知识提供根基，知识树的树干是物理学，也即是自然哲学，知识树的枝叶是应用学科。哲学为什么能够统一所有千差万别的学科。哲学大一统的关键不在于研究对象的统一，而在于研究方法的统一。哲学的研究方法是统一的，即是所有学科的研究方法是统一的，而这统一的研究方法正是数学。笛卡尔是一个哲学家，思考的是哲学问题，但他更是个数学奇才，他对哲学命题的求索带有浓厚的数学气息。

在笛卡尔看来，数学能够作为所有学科的研究方法，不仅仅局限于自然科学，也能涵盖人文学科。因此，数学方法是普遍的，对所有学科，对所有知识有效。而这普遍数学便成了笛卡尔哲学体系的核心。笛卡尔试图以数学方法为途径，慢慢构建起整个知识大厦，将所有知识统一于哲学。因而，笛卡尔能够建立大一统的关键在于数学是不是普遍有效的，这当然要求数学本身逻辑的严密性。数学本身是严密的，也即数学本身是无矛盾的，数学的基石是牢固的，数学的基础是扎实的，整个数学能够自身统一于一个完备的体系。

四、数学基础的探究

对数学基础的研究一直贯穿于数学的发展过程中。纵观整个数学发展的历程，数学史大致可以划分为三个阶段，第一个是以欧几里得为基石的初等数学阶段，第二个是以皮亚诺算术为基石的古典数学阶段，第三个是以ZFC集合论为基石的现代数学阶段。数学家对于数学基石的求索从未停下脚步。数学史三个阶段对比，后一个阶段总比前一个阶段更为内涵深厚，第三个阶段ZFC集合论仍旧处于变动发展之中，尚未完完全全成型。对数学历史发展第三阶段的探讨形成了现代数学的发展脉络。集合论是现代数学研究的核心问题。集合论认为集合是数学的基石，数学的大厦奠基于集合论，数学的逻辑基础在于集合。

朴素集合论的创始人康托尔试图用集合思想构建整个数学体系。逻辑学家罗素在运用康托尔集合论解决自然数数列问题时发现了一个悖论。他将这个悖论告知另一个逻辑学家弗雷格。弗雷格得知后大為吃惊，原来康托尔的朴素集合论并不是完备的，还不能为数学奠定坚实的基石，其自身内部尚且存在悖论自相矛盾。皮亚诺算术是古典数学的基石，集合论既然是比皮亚诺算术更高阶段的理论，自然应当能够涵盖皮亚诺算术，即皮亚诺算术能够由集合论表示。皮亚诺算术是自然数的逻辑。弗雷格研究自然数时，他将自然数表示为集合的形式，他先将集合划分为两个类别，一类是与自己相等的集合，另一类则是与自己不相等的集合。按照此种划分方法，弗雷格将数0定义为所有与自己不相等的集合所构成的集合，数1定义为所有与0相等同的集合，数2定义为所有与0相等同的集合和所有与1相等同的集合所组成的集合，依此类推，依照这个方式就可以定义一切自然数。

弗雷格对于自然数的这个定义方案存在一个悖论，罗素发现了这个悖论，爆发了关于集合论研究的风暴。弗雷格方案的悖论在于是否存在与自己不相等的集合。如果这个集合真实存在，那它究竟与自己相等还是不相等，此处便会生成悖论。如果这个集合与自己相等，那么它就是与自己不相等的集合，因为按照这个集合的定义它就是与自己不相等的集合；如果这个集合与自己不相等，那么它就成了与自己相等的集合，因为与自己不相等正好符合这个集合的定义。这个悖论的实质是假如X等于X，那么X不等于X，假如X不等于X，那么X等于X。

以罗素悖论为代表的一系列集合悖论的出现，使得康托尔朴素集合论摇摇欲坠，因为掀起了对于数学基础研究的热潮。在此期间产生了数学三大派系，一是以弗雷格，罗素为代表的逻辑主义，他们认为数学的基础是逻辑，数学是逻辑学的一个分支。数学的所有原始概念都可以用逻辑概念定义，可以用逻辑规则构建起整个数学大厦，逻辑完全能够为数学的可靠性奠基。一是以布劳威尔为代表的直觉主义，直觉主义者对数学基础的看法与逻辑主义恰好相反。直觉主义认为数学的基石是心灵的直觉而不是逻辑，数学并不依赖逻辑，相反逻辑倒要依赖数学。至于无限的问题，直觉主义坚持无限的潜在性，反对实无限。直觉主义的口号是“存在在于构造”，数学命题的真理性在于其可以被构造。一是以希尔伯特为代表的形式主义，希尔伯特解决数学基础问题的方案是与逻辑主义、直觉主义不同的，但又以它们二者为基础，在他们两派的基础上形成自己的思想体系。希尔伯特形式主义的核心思想是试图用有限的方法解决包含无限概念的古典数学的可靠性问题。

希尔伯特的形式主义方案并没有实现，哥德尔不完备性定理的出现终结了形式主义构建完备数学基础的理想。哥德尔不完备性定理认为形式算术的任一递归扩张假如是无矛盾的，那么这个形式系统是不完备的。形式系统的无矛盾性是指系统内部的任何推导都不能出错，不能出现自相矛盾的命题，不能出现二律背反。完备性是指形式系统内的所有命题都能够被证明，在系统内部能够被判定真伪。

五、有限与无限的悖论

哥德尔不完备性定理的出现终结了数学三大派别的争论。这个定理阐明形式系统的无矛盾性与完备性不可兼得。哥德尔不完备定理使得对数学基础的探究更深一步。数学基础或许注定不能做到完备，总会出现数学本身不能解决的悖论，而造成此种困境的根源应该是有限与无限的悖论。有限的经验归纳如何能够达到无限的真理。真理具有无限性，无限性体现在其普遍必然的有效性。但人们对于真理的认识依赖于对经验的归纳提炼，但经验毕竟是有限的，经验之外的世界我们一无所知。

经验论者休谟对于知识的怀疑不无道理。知识的得出源自经验的提炼，当人们看到自己所见的乌鸦都是黑色后得出了“乌鸦是黑色的”这个知识，但所有乌鸦都是黑色的吗？万一见到一只白色乌鸦呢。因此，经验总是个别的累积，不可能得到全面的真理，由部分推导出整体显然不合理。休谟进一步认为，所谓的客观规律其实并不必然，它们仅仅是人们一厢情愿的心理联系。在人们历经的经验世界里，在一个经验事物出现后总会出现另一个经验事物，如此反复，人们自然而然形成惯性思维，这两個经验事物存在着联系，而且是因果联系，先出现的事物是原因，后出现的事物是结果。因而所谓规律无非是人的主观联想而已。

六、结论

休谟关于真理的解释切断了有限经验通往无限的超验真理的道路，有限与无限的悖论不可解决，二者矛盾不可调和。有限与无限的悖论是数学基础研究中最为根本的矛盾，它的存在使得数学无法找到自己牢不可破的根基，数学的根基不牢那么数学方法的普遍性就值得怀疑，所谓的普遍数学并不一定如其所言完完全全具备必然有效性。既然普遍数学的方法并不可信，那么笛卡尔借由普遍数学方法构建整个知识大厦实现哲学体系大一统的理想也并不可能实现，因为这个统一所有学科知识的大一统体系同样无法回答有限如何达到无限的诘难。

【参考文献】

[1] 赵敦华. 西方哲学简史[M]. 北京： 北京大学出版社， 2015.

[2] 赵敦华. 现代西方哲学新编[M]. 北京： 北京大学出版社， 2015.

[3] 汪芳庭. 数学基础[M]. 北京： 科学出版社， 2001.

[4] 刘放桐. 新编现代西方哲学[M]. 北京： 人民出版社， 2000.

[5] 赵 峥， 刘文彪. 广义相对论基础[M]. 北京： 清华大学出版社， 2014.

【作者简介】

章宦波（1990—），男，浙江温州人，辽宁大学哲学与公共管理学院硕士研究生在读，主要研究方向：科学技术哲学。