一道高中联赛题的探究及其一般化*

●梁昌金 (寿县第一中学 安徽寿县 232200)

一道高中联赛题的探究及其一般化*

●梁昌金 (寿县第一中学 安徽寿县 232200)

文章给出2016年全国高中数学联赛辽宁赛区预选赛第13题的4种证明，然后对结论作了类比，获得3个新命题，最后对获得的结论进行了一般化的探究，通过合理的证明，进而得到更完美的结论.

高中联赛；几何不等式；类比探究；一般化

题目 如图1所示，△ABC为锐角三角形，外接圆圆心为O，半径为R，AO的延长线交△BOC的外接圆于点A′，BO的延长线交△AOC的外接圆于点B′，CO的延长线交△AOB的外接圆于点C′，求证：OA′·OB′·OC′≥8R3.

(2016年全国高中数学联赛辽宁赛区预选赛试题第13题)

试题图形简洁优美，激发了笔者的探究欲望.从不同的角度运用图形特征，建立相关量之间的联系，可以得到不同的证明方法.

1 证法探究

以下证法1～证法3是对结论的一种等价性变换代数化证明[1]，证法4是通过添加辅助线，利用三角法的直接证明.

证法1 如图2所示，设AO,BO,CO分别交对边BC,CA,AB于点D,E,F.由点B,O,C,A′共圆，知

∠OBD=∠OCB=∠OA′B,

从而

△OBD∽△OA′B，

于是

即

同理可得

因此

x+y+z=1.

同理可得

OA′·OB′·OC′≥8R3，

当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立.

证法2 如图2所示，设AO,BO,CO分别交对边BC,CA,AB于点D,E,F，△OBC，△OCA,△OAB的面积依次为x，y，z,则

从而

同理可得

同证法1可得

当且仅当x=y=z时等号成立，此时△ABC为等边三角形.故OA′·OB′·OC′≥8R3，当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立.

从而

同证法1可得

x(1+y)·y(1+z)·z(1+x)=

xyz(1+x)(1+y)(1+z)≥

图3

当且仅当x=y=z时等号成立，此时△ABC为等边三角形.于是

OA′·OB′·OC′≥8R3，

当且仅当为△ABC等边三角形时等号成立.

证法4 如图3所示，作△BOC外接圆的直径OD，联结A′D，CD，则

∠OA′D=∠OCD=90°,

从而

又易知OD⊥BC，得

从而 ∠A′OD= 180°-∠COD-∠COA=

180°-∠A-2∠B=

∠C-∠B,

同理可得

sin2A>0, sin2B>0, sin2C>0,

于是，由均值不等式得

以上3个……