等比数列背景下的一类不定方程问题

江苏省海门中学 (226100) 张庆秋

等比数列背景下的一类不定方程问题

江苏省海门中学 (226100) 张庆秋

数列中的不定方程问题，是近年来高考的一个热门问题，其类型及处理方法也是多种多样，如利用整除性、奇数与偶数、整数与小数、范围等等．本文就等比数列背景下的一类问题，谈谈其基本的处理方法．

问题1 已知等比数列{an}的通项公式为an=2n，试问：数列{an}中是否存在不同的三项使其成等差数列？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

解：假设存在不同三项ar,as,at(其中r

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左边是整数，右边不是整数，故(*)式不成立，与假设矛盾．

因此，数列{an}中不存在不同的三项使其成等差数列．

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左边是整数，右边不是整数，故(*)式不成立，与假设矛盾．

因此，数列{an}中不存在不同的三项使其成等差数列．

因此，数列{an}中不存在不同的三项使其成等差数列．

注意到以上三个不定方程的处理，均利用了在其等式两边同时乘以或者除以与公比相关的一个数，达到整数与小数不相等的效果(也可以通过适当调整结合整数的整除性)，从而产生矛盾．事实上，对于任意公比为有理数(不为±1)的等比数列，均不存在不同的三项使其成等差数列．

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左边是整数，右边不是整数，故(*)式不成立，与假设矛盾．

因此，数列{an}中不存在不同的三项使其成等差数列．

利用上述结论能够很快解决一些以其为背景的问题，如：

分析：数列{an}中的奇数项为奇数，偶数项为偶数，故最终形成的等……