三次三角样条插值的单调性研究

陈雪娇++潘晶++邢庆丹

摘要：利用带参数的有理样条插值方法，构造了一类带参数的三次三角样条插值函数，插值函数具有简洁的显式表示.插值曲线中含有三个形状参数，在插值条件确定的条件下可以通过调节参数来调节曲线和曲面的形状，并且给出了曲线保持单调性的参数条件，通过限制其中两个参数来控制曲线的单调性，另一个作为自由参数调节曲线的形状。之后根据三次三角样条曲线构造了三次三角样条曲面，并且给出曲面保持单调性的参数条件.最后给出了数值例子。

关键词： 有理样条插值；三次三角样条； 参数； 单调性； 形状控制

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）32-0223-03

Monotonicity Preserving using Cubic Trigonometric Spline Interpolation

CHEN Xue-jiao， PAN Jing ， XING Qing-dan

（The School of Mathematics of Liaoing Normal University， Dalian 116029， China）

Abstract： By using rational interpolation spline with parameters constructed method ， this paper develops a cubic trigonometric spline interpolation with shape parameters。The interpolation function has a simple and explicit mathematical representation。The interpolation has three parameters， and the interpolation curves and surfaces can be modified by selecting suitable parameters under the condition that the interpolating data are not changed， and the problem to preserve monotone is solved。By constraints two parameters to preserve curves monotonicity， another as a free parameter to adjust the curves shape。Later according to cubic trigonometric curves， the cubic trigonometric surfaces are constructed， and the monotonicity preserving conditions are given. Finally， a numerical examples are given。

Key words：rational spline interpolation； trigonometric cubic spline； parameters； monotonicity； shape control

1 引言

曲線和曲面的构造方法和数学描述是计算机辅助几何设计的关键问题之一。现在已经有很多这种方法，如多项式方法、B样条及非均匀有理B样条（NURBS）方法、Bézier方法等等。多项式样条方法明显的缺点在于它的整体性，即在给定的插值点不变的情况下，难以实现对其局部约束控制。非均匀有理B样条方法和Bézier方法称为“非插值型”方法，即插值曲线不经过给定的数据点，给定的数据点是作为控制点出现的。因此，如果能设计出一种方法，它兼顾以上两种类型的方法，即既是插值型的又能进行局部修改是非常有意义的，因此近年来有理插值受到广泛的关注。段奇等在文献[1]中构造了一种仅基于函数值的分母为线性的有理三次插值样条，借助于该方法，文献[2]研究了一种空间曲面插值问题，给出了矩形分划上的仅基于函数值的分片二元有理插值样条的构造方法。张云峰、段奇等在文献[3]中构造了一类基于函数值和偏导数值的双变量加权混合有理插值函数，插值函数不但含有参数，而且带有加权系数，增加了插值函数的自由度。

工程实际和科学计算中往往要求所构造的曲线和曲面保持原函数和所给定数据点的原本性质（正性、单调性和凸性）。因此保形问题是计算机辅助几何中一个重要的研究课题。近年来，国内外的许多学者发表了保形方面的文章。单调性是形状控制中一个重要的性质。在许多物理现象、工程问题和科学应用中都会出现单调数据。例如药物在血液里的传播率、癌症患者的红细胞沉降率、材料的抗拉程度等。Beatson和Ziegler在文献[4]讨论了矩形区域上[C1]二次样条的单调性，导出了关于函数值和导数值的充分必要条件。M.Z.Hussain和M.Hussain在文献[5]中构造了分母为二次的带有两个形状参数的分段有理三次函数，并通过限制形状参数来可视化单调数据。文献[6] 通过限制有理双三次函数的形状参数来保持单调数据的单调性。M.Sarfraz在文献[7]中讨论了有理三次样条的单调性。Muhammad Sarfraz等在文献[8]中构造了一种基于导数值的二次三角样条曲线，并给出了曲线保持正性、单调性和凸性的参数条件。

在这篇文章中主要研究了三次三角样条插值的单调性。与以往的样条插值相比， 本文构造的三次三角样条插值有以下优点：1）本文构造的三次三角样条插值是[G1]连续的。2）本文构造的三次三角样条曲线中含有三个参数，其中两个作为形状参数控制曲线的单调性， 另外一个作为自由参数调节曲线的形状。 与带有四个参数的样条插值相比， 它可以大大地减少计算量， 与带有两个形状参数的样条插值相比它可以自由地调整曲线的形状。 3）本文构造的三次三角样条插值是非有理的，与有理样条相比它仅仅占用少量的内存。

本文的结构如下：在文章的第二部分构造了[G1]连续的三次三角样条插值，并且给出了插值条件。第三部分给出了使得曲线保持单调性的参数条件。第四部分构造了三次三角样条曲面。第五部分研究了曲面的单调性。第六部分通过数值例子验证了曲线和曲面的单调性。第七部分为本文的结论。

2 插值函数的构造

给定区间[[a，b]]上的数据[{（xi，fi，di），i=1，2，…，n，n+1}]， 其中[fi]， [di]为被插函数[f（x）]在分划点[xi]处的函数值和导数值， 此处[a=x1

[Pi（x）=（1-sinθ）3fi+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）Ui+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）Vi+（1-cosθ）3fi+1] （1）

其中

[Ui=fi+2hidi3π]， [Vi=fi+1-2hidi+13π]。

容易看到對于给定的数据， 由式（1）定义的三次三角样条函数满足： [Pi（xi）=fi]，[P'i（xi）=di]，[i=1，2，…，n-1]。 称这种插值为三次三角样条插值。

由[G1]连续条件有：

[P'i-1（xiθ=π2）=K1P'i（xiθ=0）]， [?i]， [K1=1αi+βi≠1]。

[P'i（xi+1θ=π2）=K2P'i+1（xiθ=0）]， [?i]， [K2=1αi+γi≠1]。

几乎处处

[di→diαi+βi]， [di+1→di+1αi+γi]。

其中[αi>0]， [βi>0]， [γi>0]为参数。

则三次三角样条函数（1）转换为[G1]连续的三次三角样条函数为：

[Si（x）=（1-sinθ）3fi+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）Ui^+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）V^i+（1-cosθ）3fi+1] （2）

其中

[Ui^=fi+2hidi3π（αi+βi）]， [V^i=fi+1-2hidi+13π（αi+γi）]。

3 插值曲线的单调性研究

令[{（xi，fi，di），i=1，2，…，n，n+1}]是区间[[a，b]]上的一组单调数据， 且满足下列条件： [fi0]，[di>0] ，[i=1，2，…，n]。 由式（2）定义的三次三角样条插值在每一个子区间[Ii=[xi，xi+1]]是单调的， 如果在每一个子区间[S'i（x）>0]， [i=1，2，…，n-1]成立。

[S'i（x）=E1cosθ（1-sinθ）2+E2sinθcosθ+E3sinθ（1-cosθ）2]

其中

[E1=diαi+βi]， [E2=πΔi-（2di3（αi+βi）+2di+13（αi+γi））]， [E3=di+1αi+γi]。

[S'i（x）>0]， [i=1，2，…，n-1]。 如果[Ei>0]， [i=1，2，3]。

由[αi>0]， [βi>0] ， [γi>0] ， [Δi>0]可知， [E1>0]， [E3>0]。 若[E2>0]， 则只需[γi>-αi+2di+1（αi+βi）3πΔi（αi+βi）-2di]， [αi>0]和[βi>-αi-2hidi3πfi]， [αi>0]。

上述结论可总结为：

定理1. 三次三角样条函数（2）是单调的， 如果参数[αi]， [βi] ， [γi]满足下列条件：

[βi>max{0，-αi-2hidi3πfi}]， [αi>0]。

[γi>max{0，-αi+2di+1（αi+βi）3πΔi（αi+βi）-2di}]， [αi>0]。

4 三次三角样条曲面

给定平面区域[Ω=[a，b；c，d]]，

[{（xi，yj，fi，j，di，j，ei，j），i=1，2，…，n，n+1；j=1，2，…，m，m+1}]为已知的插值数据点集。[a=x1

[S（x，y）=-AFBT] （3）

其中

[F=0S（x，yj）S（x，yj+1）S（xi，y）fi，jfi，j+1S（xi+1，y）fi+1，jfi+1，j+1]

[A=-1a0a1]， [B=-1b0b1]

其中

[a0=cos2θ]， [a1=sin2θ]； [b0=cos2η]， [b1=sin2η]。

[S（x，yj）=（1-sinθ）3A1+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）A2+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）A3+（1-cosθ）3A4] （4）

其中

[A1=fi，j]， [A2=fi，j+2hidi，j3π（αi，j+βi，j）]， [A3=fi+1，j-2hidi+1，j3π（αi，j+γi，j）]， [A4=fi+1，j]。

[S（x，yj+1）=（1-sinθ）3B1+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）B2+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）B3+（1-cosθ）3B4] （5）

其中

[B1=fi，j+1]，[B2=fi，j+1+2hidi，j+13π（αi，j+1+βi，j+1）]，

[B3=fi+1，j+1-2hidi+1，j+13π（αi，j+1+γi，j+1）]，[B4=fi+1，j+1]。

[S（xi，y）=（1-sinη）3C1+（1-sinη）sinη（3-sinη）C2+（1-cosη）cosη（3-cosη）C3+（1-cosη）3C4] （6）

其中

[C1=fi，j]， [C2=fi，j+2ljei，j3π（αi，j^+βi，j^）]， [C3=fi，j+1-2ljei，j+13π（αi，j^+γi，j^）]， [C4=fi，j+1]。

[S（xi+1，y）=（1-sinη）3D1+（1-sinη）sinη（3-sinη）D2+（1-cosη）cosη（3-cosη）D3+（1-cosη）3D4] （7）

其中

[D1=fi+1，j]， [D2=fi+1，j+2ljei+1，j3π（αi+1，j^+βi+1，j^）]，

[D3=fi+1，j+1-2ljei+1，j+13π（αi+1，j^+γi+1，j^）]， [D4=fi+1，j+1]。

5 插值曲面的单调性研究

给定[Ω=[a，b；c，d]]上的数据[（xi，yj，fi，j，di，j，ei，j），i=1，2，…，n，n+1；j=1，2，…，m，m+1}]， 且满足： [fi，j0]， [ei，j>0]， [i=1，2，…，n，n+1]； [j=1，2，…，m，m+1]。由式（3）定义的三次三角样条曲面是单调的， 如果由式（4）-（7）定义的边界曲线[S（x，yj）]， [S（x，yj+1）]， [S（xi，y）]， [S（xi+1，y）]是单调的。 由定理1可知边界曲线[S（x，yj）]的保单调条件为：

[βi，j>max{0，-αi，j-2hidi，j3πfi，j}]， [αi，j>0]。

[γi，j>max{0，-αi，j+2di+1，j（αi，j+βi，j）3πΔi，j（αi，j+βi，j）-2di，j}]， [αi，j>0]。

同理可得边界曲线[S（x，yj+1）]， [S（xi，y）]， [S（xi+1，y）]的保单调条件。

定理2. 定义在区间[I=[xi，xi+1；yj，yj+1]]上的二元三次三角函数（3）是单调的， [αi，j]， [βi，j]， [γi，j]， [αi，j+1]， [βi，j+1]， [γi，j+1]，[αi，j^]， [βi，j^]，[γi，j^]，[αi+1，j^]，[βi+1，j^]，[γi+1，j^]滿足下列条件：

[βi，j>max{0，-αi，j-2hidi，j3πfi，j}]， [αi，j>0]

[γi，j>max{0，-αi，j+2di+1，j（αi，j+βi，j）3πΔi，j（αi，j+βi，j）-2di，j}]， [αi，j>0]。

[βi，j+1>max{0，-αi，j+1-2hidi，j+13πfi，j+1}]， [αi，j+1>0]。

[γi，j+1>max{0，-αi，j+1+2di+1，j+1（αi，j+1+βi，j+1）3πΔi，j+1（αi，j+1+βi，j+1）-2di，j+1}]，[αi，j+1>0]。

[βi，j^>max{0，-αi，j^-2ljei，j3πfi，j}]， [αi，j^>0]。

[γi，j^>max{0，-αi，j^+2ei，j+1（αi，j^+βi，j^）3πΔi，j^（αi，j^+βi，j^）-2ei，j}]， [αi，j^>0]。

[βi+1，j^>max{0，-αi+1，j^-2ljei+1，j3πfi+1，j}]， [αi+1，j^>0]。

[γi+1，j^>max{0，-αi+1，j^+2ei+1，j+1（αi+1，j^+βi+1，j^）3πΔi+1，j^（αi+1，j^+βi+1，j^）-2ei+1，j}]， [αi+1，j^>0]。

6 数值例子

例1 表1是由函数[y=x3]给出的一组单调数据。 图1是当参数不满足定理2时得到的， 可以看出曲线不是单调的。 图2是当参数满足定理2时得到的， 可以看出曲线是单调的。

表1

图1 不满足定理1

7 结论

本文主要研究了三次三角样条曲线和曲面的单调性。首先构造了[G1]连续的三次三角样条曲线，并给出了曲线保持单调性的参数条件，之后基于三次三角样条曲线构造了三次三角样条曲面，并讨论了三次三角样条曲面的参数条件。当参数满足定理1时，曲线是单调的。当参数满足定理2时，曲面的边界曲线是单调的，曲面也是单调的。最后通过数值例子进行了验证。

參考文献：

[1] Duan Q，Djidjeli K，Price W G，et al.A rational cubic spline based on function values[J].Computer and Graphics，1998，22（4）：479-486.

[2] Duan Q，Wang L，Twizell E H.A new bivariate rational interpolation based on function values[J].Information Sciences，2004，166：181-191.

[3]张云峰， 包芳勋， 张彩明，等. 一类有理插值曲面模型及其可视化约束控制[J]. 中国科学，2014， 44（7）：729-740.

[4] R.K. Beatson， Z. Ziegler， Monotonicity preserving surface interpolation[J].SIAM J. Numer. Anal. 1985 ，22 （2） ：401–411

[5] M. Z.Hussain and M.Hussain， Visualization of data preserving monotonicity[J]. Applied Mathematics and Computation， 2007， 190： 1353–1364.

[6] M.Sarfaz， S. Butt， M.Z.Hussain， Surfaces for the visualization of scientific data preserving monotonicity[J]. in：proceedings of the IMA Mathematics for Surfaces Ⅶ Conference， September 2-5，Dundee， Uk， 1997，pp.479-495.

[7] M.Sarfaz. A rational cubic spline for the visualization of monotonic data[J].，Comput.Graphics 2000，24（4）509-516.

[8] Muhammad Sarfraz， Malik Zawwar Hussain，Farsia Hussain. Shape preserving curves using quadratic trigonometric splines[J]. Applied Mathematics and Computation 2015，265：1126-1144.