谱估计方法的仿真与分析

阿巴拜克热·买买提++王磊

以频率作为根据，能量根据其分布的情况会有一系列的数据变化，这在功率谱估计中能得到很好的体现。所分析的数据来源于随机过程中的，所得到的真实功率谱，也是从随机序列的数据中计算出来的，因此，这研究的问题明显就是属于谱估计方面的。在随机的过程中，衡量真实的程度，是以谱估计质量作为标准的，谱估计质量也会受到某些因素的影响，比如数学模型的建立，使用谱估计的方式。在本文中，谱估计所用到的几种方式，都会相应的被提及到，以此作为前提，在继续往更深的层次去探究周期图法、Welch法和AR法，借助Matlab，可进行仿真实验，将上面提到的方法所能带来的实践价值，充分的表现出来。

【关键词】谱估计 谱估计的方式 仿真

平滑周期图，作为一种非参数化的方法，自然的，不受其他模型参数的限制是它最大的特征，在估计功率谱密度的时候，起着重要的作用，其优势在于计算不复杂，是一种很经典的方法。在进行功率谱密度估计的时候，超出数据观测的范围，我们刚开始对信号的自相关函数进行假设的数据，超出了范围之后都是零，所以，想要通过估计得到的功率谱推算出真实的功率谱几乎是不可能的，通常来说，实际的功率谱很难从周期图中得到，尽管它有渐进的功能，但几乎不能达到我们想要的要求，这些是我们在实验的过程中面临的主要问题。参数化的功率谱估计，是不同于周期图方法的，在使用的过程中，是有用到参数的，相比于周期图方法来说。它的优点在于频率分辨率更高，所以，人们又称它为高分辨率方法，或者是现代估计方法。

1 经典谱估计

经典谱估计方法主要是根据功率谱函数的定义式给出的功率谱估计方法，它主要分为：周期图，相关图，B-T法，Welch法。周期图谱估计器为：

我们通常所说的经典谱估计方法，它是在功率谱函数的基础上，所得到的一种功率谱估计方法，周期图，相关图，B-T法，Welch法，是包含在经典谱估计方法中的。以下是周期图谱的估计器：

（1）

将自相关函数（这边提到的是基于信号的）通过傅里叶的变换，进一步得到功率谱密度函數，这就是以下给出的相关图谱估计器的原理：

（2）

通过分析计算，我们会发现在均值上周期图和相关图得到的数据是一样的，公式如下：

（3）

我们规定要在最大的程度上靠近φ（ω），这是发生在周期图是没有偏估计的时候，通过

这个式子，可以得出WB（ω）要在最大的程度上和Dirac相似。一旦逼近的效果没有达到要求，将会使周期图和相关图估计器受到影响，使其产生较大的偏差，偏差囊括了非零主瓣宽度和非零幅瓣幅度，它们都是来自窗函数WB（ω），其中关于WB（ω）的主瓣，它在所要估计的谱中，扮演着使其不清楚，或是让其平滑的角色。能够使集中在某一个频段里的功率信号，扩展到其他地方，比如一些功率很小，或是压根就没有功率的频段中去，这就是谱估计中窗函数幅瓣所起的作用，人们称它为“泄漏”。在这里，受最大的约束是数据的长度。消除的偏差，可以通过使N的值加大来实现。

（4）

由此可见，如果周期图不存在偏差，便可以很好地用于谱的估算。

但是，添加时间窗也会存在别的问题，如果方差减小的太多，分辨率就会变得很低，为了保证不失真，又能尽可能地减小波动，就要对这两个因素综合考虑，从而选择一个合适的值作为窗的长度。

Welch又在原有的基础上，做了大量改进措施，运用这种方法，使得如果数据的分段中存在叠加，也不会影响到计算；而且，在窗的添加时间上做了改变，将其加在数据的每一个分段进行周期图的计算之前。因此，Welch法的谱估计器可以表达为下面的公式：

（5）

其中：代表每一个小分段估算后得到的结果。

这种方法实际上是对周期图进行平均处理，与Tukey方法的不同，它是对每一个小分段都添加了时间窗，再进行谱的估算，然后根据平均运算，使方差有效减小，从而使估计的性能更好。

2 参数化谱估计

令参数化的方法能更加准确的得到谱估计值的步骤为：

（1）为了函数形式已知的产生模型得到更好的需求，应该先参数化或假设基于模型的谱估计方法的信号。

（2）对假设模型中的数值进行估计从中获取你觉得有意思的信号谱的特性。

一些模型的阶数是参数化谱估计所需要的。其中，AR模型是最常用的。

AR过程x（n）可以表示为单位方差白噪声驱动的全极点滤波器的输出，则p阶AR过程的功率谱是：

（6）

对模型的参数估计后，则谱估计器可以如下形式：

（7）

由此得出，决定谱估计的因素有两个：

（1）模型参数被估计得准确性；

（2）AR模型数据的产生方式是否能保持一样。

通常情况下，AR建模使用的是Yule-Walker方法。Toeplitz阵是它正则方程中的自相关阵，计算时采用 L-D算法，但是在估计自相关序列时，它只是增加了矩形窗，所以是利用数据补零推导它。所以它的分辨率更低。

3 Matlab仿真实验及结果分析

以下的这些结论是通过计算机的仿真实验来得出的。使用电脑仿真时运用了三种信号：

（1）两个频率为100和200的正弦信号；

（2）加性噪声均值为0；

（3）方差为1的高斯噪声。

图1用周期图法进行谱估计，因方差过大，波动没有规律很明显，所以为了降低方差采用平均周期图。图2所示平均时的方差越是小结果；图3只是起到了平滑周期的作用。

经过对图1，2，3，4，5进行比较，得到加窗的以及降低谱估计的方差办法，平滑的降低率与谱估计的分辨率成正比。图5和图4的比较结果是：正弦的两个频率越靠近，加窗的周期性比无窗的越低。

如图6所示，方差有所降低且谱得到了平滑，所以，Welch方法谱可以使估计效果更为准确。图（7）是AR谱估计法，非参数化方法谱不能与之相比。

4 结论

本文给出的几种随机方法，经过实验证明：以上几种办法各有各的特点。目前为止的实验工程中，传统的谱估计发展日益成熟起来，新兴的谱估计方法，例如：music方法。都得到了提高。

综上所述，谱方法在现代数字信号中不可或缺。数学理论在一直发展，谱估计技术的前景也不可估量。

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作者简介

阿巴拜克热·买买提（1985-），男，新疆阿克苏人。硕士研究生。现任新疆农业大学计算机与信息工程学院电子系教师。研究方向为电子信息科学与技术。

王磊，男，工学硕士研究生。现任新疆农业大学计算机与信息工程学院讲师，从事教学与科研工作。主要研究方向为智能控制及物联网。

作者单位

新疆农业大学计算机与信息工程学院 新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市 830052