例谈截距法求解空间法向量

☉湖北省武汉市第二中学 张搏翰

例谈截距法求解空间法向量

☉湖北省武汉市第二中学 张搏翰

空间几何问题是高考必考题型之一，利用向量法可以很方便地解决一类几何问题.解答此类问题一般分为以下几步：先观察图形建立合理的坐标系（一般是空间直角坐标系），再利用各边在坐标系上的投影写出需要的点的坐标，从而利用向量法求解问题.本文主要介绍截距法在求解二面角问题中的运用.

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱.二面角的面是指这两个半平面.在棱上任取一点，分别在两半平面内引两条射线与棱垂直，两条垂线所成的角叫做二面角的平面角.

求二面角的平面角，一般有以下几种方法：

1.三垂线法，已知二面角的其中一个面上的点到另一个面的垂线，利用三垂线定理或其逆定理求出二面角的平面角.

2.向量法，通过建立空间坐标系求两个平面法向量的夹角（可能是所求角的补角）.

3.垂面法，利用二面角的平面角所在的平面与棱垂直，在已知二面角内一点到两个半平面的垂线时，过两垂线作平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角.

4.射影法，不需要画出平面角，直接利用面积射影公式求解.

一、截距法介绍

如图1，OA=OB=OC=a，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，A，B，C点的坐标分别为（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0），则（1，1，1）为平面ABC的一个法向量.

图1

对于想到截距法的过程，此处不再赘述.本文主要通过例题来讲解截距法在高中空间几何问题尤其是二面角问题中的简便之处.

二、例题解读

例1如图2所示的一个几何体，已知AB=BC=CD=DA=a，SA=SB= SC=SD=a.

（1）求平面SBC与平面SAB所成角的余弦值；

（2）求平面SBC与平面ABCD所成角的余弦值.

方法一（向量法）：连接线段AC，BD，交于点O，因为SB=SD=a，SA=SC=a，所以SO⊥BD，SO⊥AC，所以SO⊥平面ABCD.又SA=SB，所以OA=OB，所以ABCD为正方形.分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

（1）因为AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a，所以△SBC与△SAB均为等边三角形.

取SB的中点N，AN垂直于SB，CN垂直于SB，

所以∠ANC即为所求的平面角.

图2

图3

同理

下面求二面角的余弦值，如图3，

利用余弦定理可得

2a2

（2）SO垂直于底面ABCD，垂足为O，取BC的中点M，SM垂直于BC，OM垂直于BC，所以，∠OMS即为所求的平面角.

在Rt△SOM中，如图4，

图4

方法二（截距法）：如上所述，建立空间直角坐标系O-xyz，则点的坐标分别为A所以（1，1，1）为平面SBC的一个法向量，（1，-1，1）为平面SAB的一个法向量，平面ABCD法向量为z轴方向，即（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，

所以，由于平面SBC与平面SAB所成角为钝角，故其余弦值为，平面SBC与平面ABCD所成角的余弦值为

例2已知SABC是边长为1的正四面体.

（1）求SB与平面SAC所成角的余弦值；

（2）求平面SAB与平面SBC所成角的余弦值.

图5

解：如图5所示，过点B作BD垂直于AC，垂足为D；过点S作BD的垂线，垂足为O，点O即为正三角形ABC的重心.以点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图5所示.

可证明平面SBD与平面SAC垂直，公共棱为SD，过B作BE⊥SD于E，则△BDE≌△SOD，所以，∠BDE为所求夹角，如图6.

图6

图7

所以，∠ANC即为所求角.

在△ANC中，由余弦定理知，

点评：计算的过程中，传统法需要分析二面角的平面角以及证明该角是平面角的过程；但截距法通过坐标轴上点的坐标计算平面的法向量，很巧妙地避免了找二面角的平面角的过程，使得计算过程更加简单，有效地节省了计算的时间，提高了解题速度.

当然，例题只是本文为了使用截距法而引入的，在更多地求所成角的问题或其他法向量方面，截距法的计算优势会更为突出.

求解空间几何的二面角的方法很多，向量法是求解空间几何的简便又很传统的方法，对于很多几何问题都能使用.本文截距法的引入，简便了很多繁杂的计算，避免了可能的计算错误，对于提高解题效率有很大的帮助.