求解中考函数与几何图形结合的试题

摘要：在解与函数图象有关的几何试题时，往往不像求解纯几何问题那么应用自如.在求解这类问题时首先应根据函数解析式求出有关点的坐标（如图象与坐标轴交点，两图象交点等），其次依据点的坐标求出有关线段的长度.最后利用有关定理、性质、公式即可使问题获解.

关键词：长度；面积；点；坐标

作者简介：付燕敏（1982-），女，江西省信丰县人，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究.一、求函数图象中的线段长度

例1已知y=x2-x-1与x 轴交于A、B两点，求线段AB的长度

解法1依韦达定理，得：x1+x2+1，x1x2=-1，所以AB=|x2-x1|=（x1+x2）2-4x1x2=12-4·（-1）=5.

解法2设A、B两点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程x2--x-1=0的两根。解此方程得：x=（-1±5）/2，所以AB=|x2-x1|=5.

二、求函数图象中的面积问题

例2求直线y=3x-2与直线y=2x+3和y轴围成的图形的面积.

解设直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴的交点分别是A、B，则A（0，-2）、B（0，3），AB=5.设两直线交点为C，则C的点坐标为方程组y=3x-2

y=2x+3的解，即C（5，13）.过C作CD⊥y轴，垂足为D，则CD=5，所以S△CBA=12AB·CD=12×5×5=252.

三、求半角的函数值

求半角的函数值问题中，一般应放在直角三角形中研究，若题设中没有现成的直角三角形和半角关系，则应根据条件构造直角三角形和利用角平分线的定义或等腰三角形的一个底角与顶角的外角，以及同弧所对圆周角与圆心角的关系等，构造出半角关系再注解.

例3已知：如图3所示，弦AB、AD分别是圆O的内接正三角形和内接正十二边形的一边，延长AD到C点，使2AD=CD，连结CD交圆O于点E，BC=m，CE=n，且m>n，求tan∠BCD/2.的值.（用m、n表示）

解析連结OA、OD、OB，作∠BCO的平分线于CF交OB于F，令OD交AB于点G.

因为AD、AB分别是圆O内接正十二边形和正三角形的边.所以弧AD为360°/12=30°，弧ADB为360°/3=120°，

所以∠AOD=30°，∠AOB=120°，所以∠DOB=90°，∠ABO=∠BAO=30°，所以AG=OG，OG：BG；=1∶2，所以AG∶BG=1∶2，

又CD=2AD，所以AD：CD=AG∶BG=1∶2，所以OD∥BC，所以∠OBC=90°，所以BC是圆O的切线，设AD=x，圆O的半径为R，则m2=6x2，n（n+2R）=6x2，

所以m2=n2+2nR， 所以R=（m2-n2）/2n

所以OC=n+R=m2+n22n

因为OF/BF=OC/BC=m2+n22n/m.

所以OF=m2n22mn·BF，

因为BF+OF=OB=R，

所以（1+m2+n22mn）BF=m2-n22n，

所以BF=m2-n22mn·2mn（m+2）2=（m-n）mm+n，

tan∠BCO2=BFBC =（m-n）mm+n/m=m-nm+n.

四、在坐标系中，给出几何或三角形条件求某点坐标

根据几何条件通过推理，计算有关线段长度，进而求出点的坐标，有时也可以通过几何条件直接建方程，使问题获解.

例4如图4所示，直线y=-33x+1和x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（m， 12），且△ABP的面积与ABC的面积相等，求m的值.

解因为y=-33x+1.所以x=0时，y=1.y=0时，x=3，所以点A、B的坐标分别为（3，0），（0，1）.即OA=3，OB=1，AB=OA2+OB2=2.

因为△ABC为等边三边形，边长AB=AC=2，

所以S△ABC=34AB2=34×22=3.

过P作PD⊥Ox，，D为垂足，则OD=m，AD=m-3.

所以S梯形BODP=12（OB+PD）OD=12（1+12），m=34m.

因为S△ABP=S△ABC，所以S梯形BODP=S△OAB+S△ABP+S△APD=S△OAB+S△ABC+S△APD=12×1×3+3+12（m-3）12=14（m+53），

即34m=14（m+53）.解得：m=53/2.

总之，几何与代数的溶为一体，构思巧妙，新疑别致，涉及综合能力强，知识面广泛，是考查学生知识与能力的好题型，求解过程中要认真观察图形结构，充分利用几何图形的性质，找出几何量之间的关系.

参考文献：

[1]沙玉珍. 反比例函数、几何图形联袂组新题[J].中学生数理化.2013（3）：44.