浅析求高中数学函数单调区间的解题技巧

王李嘉

摘要：在高中数学中，函数的单调性问题是高中学习的重点，通过函数的单调性我们往往可以知道很多的知识，这样可以让我们更有效的解决问题。我们同样也可以通过对函数的单调区间的研究求解出參数方程中的参数范围。除此之外，我们对函数进行一定的转换，那么我们就可以求解一些特殊的不等式，这些难以解决的问题大都能够利用函数的单调性来进行解决。我们知道数学是一门神奇的学科，它可以锻炼人的思维能力，使人的视野开阔。因此，函数的单调性问题，我们同样也会有多种方法对其进行解决。解决函数的单调性问题的方法不是单一的，但是万变不离其宗，函数单调性的定义是最为基本的，当然根据各种各样巧妙的方法来解决问题也不是很容易的。我们就对于函数单调性问题的解题方法进行了探究，将以实际例子的形式展现。

关键词：函数的单调性；区间；解题技巧

一、函数单调性定义的运用

在数学对于函数单调性的研究与讨论，我们最应该而且是首先考虑到的一种方法就是定义法。有些刁钻的题目就会指定用定义法进行证明，那么我们就不能使用其他的方法。所以我们就应该使用定义法。对于无理式的函数，我们在进行论证的过程中要将无理式进行有理化，有理化式子有利于是用定义法对函数的单调性进行分析。

假定函数 g（x） ，x∈N 有意义，存在任意两个自变量x1，x2，且存在一个区间M（M∈N） x1，x2∈M，并且x1>x2时，若g（x1）>g（x2），称之为g（x）在区间段M是严格单调递减的。相反，g（x1） < g（x2）称之为g（x）在区间段M是严格的单调递增的。对于函数单调性的研究，我们要严格的控制单调区间。

假设函数g（x）=1/x，试判断该函数的单调性，并写出其单调区间。

解： 由题意可得出，g（x）的定义域为：（-∞，0）U（0，+∞）。假设存在x1，x2∈（-∞，0） 并且x1>x2，设g（x）= g（x1）-g（x2） = 1/x1- 1/x2=（x2-x1） /x1x2，由于 x1x2>0，x1>x2，则 g（x） = g（x1）-g（x2）<0，可得出g（x1）

二、函数单调性的解题方法

（一）函数单调性的定义

函数单调性的研究，从其定义来讲，一般是分为以下几个步骤来完成的。第一，确定函数的定义域区间，我们所研究的函数是在其有意义的范围内对其进行一系列的而研究，超出的部分没有任何的意义；第二，在所划分的区间之内确定两个任意的值x1，x2，求出g（x1），g（x2）的值并比较两者的大小；第三，根据函数单调性的定义以及所标注的区间，确定其单调性，下结论。

（二）利用导数的知识来研究函数的单调性

导数作为研究函数的工具，开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握.

假设 g（x）在区间M范围内具有倒数，假如它的一阶导数为零，那么这个函数就是一个常数函数；假设它的一阶导数大于零，那么这个函数在它的区间范围内就是增函数，假设它的一阶导数小于零，那么这个函数在它的区间范围内就是减函数。同理，假设g（x）在区间M内具有一阶导数并且在这个区间范围内是减函数，那么就一定有g（x） ≤0。假如g（x）在区间M内具有一阶导数且在其区间范围内是增函数，那么就一定有g（x）≥0；从导数的角度来看这个问题，函数的单调性问题就变成了对导数的研究。假如函数可导，求其导数就能够轻而易举的解决单调性的问题了。由此看来，一些复杂高难度及含有参数的函数可以通过简单的求导的方法来解决。

（三） 运用复合函数单调性的法则，对复合函数进行求解运算

在高中数学中，复合函数是由内外两个函数组合而成的。它的定义是函数y=g（t（x））是用函数y=g（t）和函数f=t（x）组合而成的，其中f=t（x）是内层函数，y = g（t） 是外层函数。

复合函数的单调性是由两个函数共同决定的，假如内层函数和外层函数的单调性不同，那么整个函数就是递减函数。相反，假如内层函数和外层函数的单调性相同，那么复合函数的单调性就是递增函数。

（四） 对函数的基本图像进行分析，解决函数的单调性问题

图像是最基本也是最直观的方式，我们在图像中能够直接的看出函数的单调性，当然这些都应该是在我们对各种基本函数的具体图像熟练掌握的基础之上。我们除了可以直接的看出函数的单调性之外，我们也可以看出函数的对称性，这是一种新型的解题思路，我们可以利用函数自身的对称性以及两个函数之间的对称性来解决问题。

结语：在高中数学中，函数的单调性以及函数的单调区间是最常见的问题，因为这方面的题型涉及的范围比较广，所以对函数单调性的考察也是越来越热门。除此之外，我们可以利用函数的单调性对其进行一般的转化，也有求解方程参数的范围以及不等式恒成立求参数的问题。函数单调性还可以对一些特殊的不等式进行解答，但是，熟练地掌握函数单调性是解决这些问题的一个必要前提。

参考文献

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[2] 吴健静.也谈运用函数单调性巧解题[J].数理化解题研究（高中版） ，2011，（01）

[3] 蒋自伟.解读函数的单调性[J].中学生数理化（高中版·学研版） ，2011，（03）

[4] 黄爱民.函数单调性解数学题常见类型解析[J].中学生百科，2011，（05）