讨论形如abc=1的一类初中数学联赛题

四川师大附属第一实验中学(610000) 董永春 陈刚

南充市仪陇县瓦子镇瓦子镇小学校(637654) 车进明

讨论形如abc=1的一类初中数学联赛题

四川师大附属第一实验中学(610000) 董永春 陈刚

南充市仪陇县瓦子镇瓦子镇小学校(637654) 车进明

笔者在近年的教学中发现形如abc=1或者a+b+c=1的代数式问题,由于形式优美,变换灵活,在初中数学联赛及一些竞赛中经常出现.笔者通过研究整理,总结了一些常用简单方法,现举例说明.

1.简单单一分母通分型

分析:结合已知条件,将分式通分,利用代数式恒等变形及整体代换来求值.通分后整体代换已知条件是关键.

A.正数 B.0

C.负数 D.正、负不能确定

2.复杂分母因式分解型

分析:分母形式复杂的不易通分,借助已知条件整体代换,将分母因式分解来求解.因式分解分母是关键.

分析:首先分母通过已知条件整体代换来因式分解,然后复杂的分子因式分解比较困难时,初中常采用待定系数法来解决,此类分子分母都比较复杂的,在因式分解有困难时可以考虑待定系数法分解.

3.公式法

分析:对于这类高次的代数式求值,a3+b3+c3−3abc= (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)公式是化简常用的手段.

A.3 B.2 C.1 D.0

变式1(数学竞赛大考卷)已知a+b+c=1,a2+b2+ c2=2,a3+b3+c3=3,则ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)的值为( )

变式3(2005全国初中数学联赛)已知a+b+c=0,a3+b3+c3=0,则a19+b19+c19等于( )

解:∵(a2+b2+c2)(a+b+c)=a3+b3+c3−3abc

又a+b+c=0,a3+b3+c3=0∴3abc=0,∴a,b,c至少有一个为0,若a=0,则b+c=0,b=−c,同理当b=0或c=0时a19+b19+c19=0.

[1]董永春,对几个代数不等式研讨的再探讨[J].中学数学教学参考,2011(4).

[2]董永春,与高斯函数有关的高考压轴题[J].数学通讯,2012(11-12).

[3]诸暨市浣江中学数学组[M].初中数学竞赛大考卷,2005.