柯西不等式的多种变式及其应用

重庆鲁能巴蜀中学(400025) 鲜智宇

柯西不等式的多种变式及其应用

重庆鲁能巴蜀中学(400025) 鲜智宇

柯西不等式以其结构优美,应用广泛而引人注目.由于柯西不等式的本质含义不容易理解,存在多种变化形式,使得许多数学爱好者望而却步.本文在给出柯西不等式的几何含义及常见的5种变式的基础上,举例分析柯西不等式及其变式在不等式证明等方面的作用.

1 柯西不等式的及其几何含义

柯西不等式可以简单的表述为:相同项数的平方和之积大于等于对应项乘积之和的平方.

为了进一步理解柯西不等式的本质,我们先引进向量及相关概念.

定义1 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(长度).在n维坐标系下,向量可表示为模.

由此我们给出柯西不等式的几何含义:两个向量模的平方之积大于等于该两个向量内积的平方,当且仅当两向量平行(共线)时等号成立.

2 柯西不等式的5种变式

为了更好地运用柯西不等式,下面我们用推论的方式给出几种常见5种变式.

3 柯西不等式及其变式的应用

柯西不等式及其推论在不等式证明,求最值等方面有着广泛的应用,下面我们举例说明常见的几种应用方法.

3.1.直接带入法

例1 设a,b,x,y∈R+,a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ ay)≥xy.

分析:不等式左边可以看着是两个完全平方和之积,可以考虑直接应用柯西不等式.

分析:不等式左边可以看着是一个完全平方与一个非负数之比的和,分母之和2,可以考虑直接使用推……