理解三角形“四心”要“一意”,巧解习题勿“三心”又“二意”

广州大学附属中学(510050) 韩智明

理解三角形“四心”要“一意”,巧解习题勿“三心”又“二意”

广州大学附属中学(510050) 韩智明

从初中学习数学开始,学生就对三角形的“四心”(即:重心、垂心、外心、内心)有了初步的认识和理解.进入高中后,特别是学习向量知识以后,以向量为载体对三角形“四心”有关问题进行了深入的研究,大量的且不同形式的习题出现,冲击着广大师生的大脑.笔者从事高中数学教学多年,发现这块知识学生很难把握,很多老师在平时的教学中虽然也有重点强调和讲解,但感觉还是不够系统,没有从本质上揭示它们之间所蕴含的内在联系,其实通过探究不难发现三角形的“四心”的向量表示有着统一的形式,本文就从三角形的“四心”向量统一表示形式及其相关结论入手,巧解一类与其有关的习题.

先看看一个引理的证明:

略解:由结论1、结论3和结论4可知,点G,N,P分别是△ABC的重心、外心和内心.故A正确.

点评:通过以上例题几种解析方法发现,当知道和理解三角形“四心”向量统一形式后,利用结论来判断,可以简化解题步骤,达到事半功倍的效果.

下面以题组的形式举例说明:

题1 已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

题2 已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

题3已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

题4 已知A,B,C是平……